Inversa hiperbola funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, inversaj hiperbolaj funkcioj estas retroĵetoj de hiperbolaj funkcioj.

Hiperbola funkcio Inversa hiperbola funkcio
Nomo Skribmaniero Difino Nomo Skribmaniero
Hiperbola sinuso y=sinh xy=sh x  y=\frac{e^x - e^{-x}}{2}\! Inversa hiperbola sinuso u=arcsinh vu=arsinh vu=asinh vu=arsh v
Hiperbola kosinuso y=cosh xy=ch x  y=\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\! Inversa hiperbola kosinuso u=arccosh vu=arcosh vu=acosh vu=arch v
Hiperbola tangento y=tanh xth x  y=\frac{\sinh x}{\cosh x}\! Inversa hiperbola tangento u=arctanh vu=artanh vu=atanh v
Hiperbola kotangento y=coth xcth x  y=\frac{\cosh x}{\sinh x}\! Inversa hiperbola kotangento u=arccoth vu=arcoth vu=acoth v
Hiperbola sekanto y=sech x  y=\frac{1}{\cosh x} \! Inversa hiperbola sekanto u=arcsech vu=arsech vu=asech v
Hiperbola kosekanto y=csch  y=\frac{1}{\sinh x} \! Inversa hiperbola kosekanto u=arccsch vu=arcsch vu=acsch v
Arcsinh function.png
arsinh x
Arccosh function.png
arcosh x
Area tangent.svg
artanh x
Arccoth function.png
arcoth x
Arcsech.png
arsech x
Arccsch.png
arcsch x
Radio tra la fonto tranĉas la hiperbolo x2-y2 = 1 en la punkto (cosh a, sinh a), kie a estas la areo inter la radio, ĝia spegula bildo kun respekto al la x-akso, kaj la hiperbolo

Ili estas nomataj ankaŭ kiel areaj hiperbolaj funkcioj, ĉar ili komputas areon de sektoro de la unua hiperbolo x2-y2 = 1, simile al tio kiel inversaj trigonometriaj funkcioj komputas longon de arko de la unuobla cirklo x2+y2 = 1.

La kutimaj simboloj por ili (ekzemple por hiperbola sinuso) estas kiel arsinh, arcsinhasinh (en komputiko). Ankaŭ skribmaniero kiel sinh-1 (x) estas uzata. La simboloj komenciĝantaj de "arc" (arcsinh, ...) estas kutime uzita, sed fakte ili estas misnomaĵoj ĉar la prefikso "arc" devenas de vorto arko analoge al inversaj trigonometriaj funkcioj, sed inversaj hiperbolaj funkcioj ne kalkulas arkon. La prefikso "ar" devenas de vorto areo kaj respektivas la realan kalkuladon.

Sur reelaj nombroj, nur sinh, tanh, coth kaj csch permesas retroĵetadon kun certa ricevo de la originala valoro (tiel por ĉiu reela x, ekzemple arsinh (sinh x)=x). cosh kaj sech prenas (sur reela domajno) preskaŭ ĉiun eblan valoron je du malsamaj argumentoj, sed la ĉefa valoro de inversa funkcio redonas nur unuon el la du eblaj variantoj.

Pro tio ke ĉiuj hiperbolaj funkcioj estas periodaj kun kompleksa periodo 2πi (πi por hiperbola tangento kaj hiperbola kotangento), apliko de la inversa funkcio kun preno de la ĉefa valoro (vidu sube) ne ĉiam donas la originalan valoron. Tiel la inversaj funkcioj estas multvaloraj funkcioj

Logaritma prezento[redakti | redakti fonton]

La funkcioj estas difinita en la kompleksa ebeno per esprimoj kun logaritmoj kiel:

\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})
\operatorname{arcosh}\, x = \ln(x + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1}) \ne \ln(x + \sqrt{x^2 -1})
\operatorname{artanh}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right)
 = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\operatorname{arcsch}\, x = \ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)
\operatorname{arsech}\, x = \ln\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x}\right)
\operatorname{arcoth}\, x = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}

De la kvadrataj radikoj estas prenetaj la ĉefaj valoroj. Por reelaj argumentoj kaj redonaj valoroj, certaj plisimpligoj povas esti faritaj, ekzemple \sqrt{x - 1}\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-1}, kio ne estas ĝenerale vera tra kompleksaj x.

Complex ArcSinh.jpg
arsinh z
Complex ArcTanh.jpg
artanh z
Complex ArcSech.jpg
arsech z
Complex ArcCosh.jpg
arcosh z
Complex ArcCoth.jpg
arcoth z
Complex ArcCsch.jpg
arcsch z

Serioj[redakti | redakti fonton]

Seriaj elvolvaĵoj por la funkcioj estas:

\operatorname{arsinh}\, x
= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arcosh}\, x
= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)
= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1
\operatorname{artanh}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh}\, x^{-1}
= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}
= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)
= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1
\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}
= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1

Asimptota elvolvaĵo por arsinh x estas

\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}

Derivaĵoj[redakti | redakti fonton]

 \frac{d \operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
 \frac{d \operatorname{arcosh}\, x}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}
 \frac{d \operatorname{artanh}\, x}{dx} = \frac{1}{1-x^2}
 \frac{d \operatorname{arcoth}\, x}{dx} = \frac{1}{1-x^2}
 \frac{d \operatorname{arsech}\, x}{dx} = \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}
 \frac{d \operatorname{arcsch}\, x}{dx} = \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}

Por reela x eblas plisimpligi la esprimojn:

 \frac{d \operatorname{arsech}\, x}{dx} = \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
 \frac{d \operatorname{arcsch}\, x}{dx} = \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0

Ekzemplo de pruvo: estu θ = arsinh x, do:

\frac{d \operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]