Funkcio de Gudermannian

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Funkcio de Gudermannian (nigra) kun ĝiaj asimptotoj y=±π/2 (bluaj).

En matematiko, funkcio de Gudermannian, nomita post Christoph Gudermann (1798 - 1852), donas interrilaton inter la trigonometriaj funkcioj kaj hiperbolaj funkcioj ne engaĝante kompleksajn nombrojn.

Ĝi estas difinita kiel

\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dp}{\cosh(p)}=\\
&=\arcsin\left(\tanh(x)\right)
 =\mbox{arccsc}\left(\coth(x)\right)\\
&=\arccos\left(\mbox{sech}(x)\right)
 =\mbox{arcsec}\left(\cosh(x)\right)\\
&=\arctan\left(\sinh(x)\right)
 =\mbox{arccot}\left(\mbox{csch}(x)\right) \\
&=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right)
=2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}
\end{align}\!

Jenaj identoj veras:

\sin(\mbox{gd}(x))=\tanh(x)\!
\csc(\mbox{gd}(x))=\coth(x)\!
\cos(\mbox{gd}(x))=\mbox{sech}(x)\!
\sec(\mbox{gd}(x))=\cosh(x)\!
\tan(\mbox{gd}(x))=\sinh(x)\!
\cot(\mbox{gd}(x))=\mbox{csch}(x)\!
\tan\left(\frac{\mbox{gd}(x)}{2}\right)=\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\!
La inversa funkcio de Gudermannian

La inversa funkcio de Gudermannian arcgd estas donita per

\begin{align}
\mbox{arcgd}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)=\int_0^x\frac{dp}{\cos(p)}=\\
&={}\mbox{arccosh}(\sec(x))=\mbox{arctanh}(\sin(x))\\
&={}\ln\left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\
&={}\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\\
&={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)} \end{align}\,\!

La derivaĵoj estas

\frac{d\mbox{gd}(x)}{dx}=\mbox{sech}(x)
\frac{d\mbox{arcgd}(x)}{dx}=\sec(x)

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]