Kvadrato-libera entjero

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Klasifiko de entjeroj laŭ dividebleco
Formoj de faktorigo:
Primo
Komponita nombro
Pova nombro
Kvadrato-libera entjero
Aĥila nombro
Nombroj kun limigitaj sumoj de divizoroj:
Perfekta nombro
Preskaŭ perfekta nombro
Kvazaŭperfekta nombro
Multiplika perfekta nombro
Hiperperfekta nombro
Unuargumenta perfekta nombro
Duonperfekta nombro
Primitiva duonperfekta nombro
Praktika nombro
Nombroj kun multaj divizoroj:
Abunda nombro
Alte abunda nombro
Superabunda nombro
Kolose abunda nombro
Alte komponigita nombro
Supera alte komponigita nombro
Aliaj:
Manka nombro
Bizara nombro
Amikebla nombro
Kompleza nombro
Societema nombro
Nura nombro
Sublima nombro
Harmona dividanta nombro
Malluksa nombro
Egalcifera nombro
Ekstravaganca nombro
Vidu ankaŭ:
Dividanta funkcio
Divizoro
Prima faktoro
Faktorigo

En matematiko, kvadrato-libera entjero estas entjero kiu ne estas dividebla per kvadrato de primo. Ekzemple, 10 estas kvadrato-libera sed 18 ne estas, ĉar ĝi estas dividebla per 9 = 32. La plej malgrandaj kvadrato-liberaj nombroj estas

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ...

Ekvivalentaj karakterizadoj de kvadrato-liberaj nombroj[redakti | redakti fonton]

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se en la faktorigo de n, neniu primo aperas pli ol unu foje. Alivorte por ĉiu primo p kiu dividas na n, p ne dividas na n/p. Ankoraŭ alia formulaĵo: n estas kvadrato-libera se kaj nur se en ĉiu faktorigo n=ab, la faktoroj a kaj b estas interprimoj.

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se μ(n) ≠ 0, kie μ estas la funkcio de Möbius.

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se ĉiuj komutaj grupoj de ordo n estas izomorfiaj, kiu estas la vero se kaj nur se ĉiuj el ili estas ciklaj grupoj. Ĉi tio sekvas de la klasifiko de finie generitaj komutaj grupoj.

La entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se la faktora ringo Z / nZ (vidu en modula aritmetiko) estas produto de ringoj de korpoj. Ĉi tio sekvas de la ĉinia resta teoremo kaj la fakto ke ringo de formo Z / kZ estas kampo se kaj nur se k estas primo.

Por ĉiu pozitiva entjero n, la aro de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n iĝas partordon se oni uzas divideblecon kiel la ordo-rilato. Ĉi tiu partordo estas ĉiam distribueca krado. Ĝi estas bulea algebro se kaj nur se n estas kvadrato-libera.

La radikalo de entjero estas ĉiam kvadrato-libera.

Distribuo de kvadrato-liberaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Se Q(x) estas la kvanto de kvadrato-libera entjeroj inter 1 kaj x, tiam

Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})

(vidu en pi kaj granda O skribmaniero). La asimptota aŭ natura denseco de kvadrato-liberaj nombroj estas pro tio

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}

kie ζ estas la rimana ζ funkcio.

Ankaŭ, se Q(x,n) estas la kvanto de n-povo-liberaj entjeroj inter 1 kaj x, do

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.

Kodigo kiel duumaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Se oni prezentas kvadrato-liberan nombron kiel la malfinia produto:

\prod_{n=0}^\infty {p_{n+1}}^{a_n}, a_n \in \lbrace 0, 1 \rbrace, kaj p_n estas la n(th, -a) primo.

tiam oni povas preni tiuj an kaj uzi ilin kiel bitoj en duuma nombro, kio estas la kodigo:

\sum_{n=0}^\infty {a_n}\cdot 2^n

Ekzemple, la kvadrato-libera nombro 42 havas faktorigon 2 × 3 × 7, aŭ kiel malfinia produto: 21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 ·...;

Tial ekzemple nombro 42 povas esti kodita kiel la duuma vico ...001011 aŭ 11 dekuma. Noto ke la duumaj ciferoj estas ordigitaj en la mala direkto ol en la malfinia produto.

Pro tio ke la prima faktorigo de ĉiu nombro estas unika, la duuma kodanta estas unika. Kaj male? pro tio ke ĉiu pozitiva entjero havas unikan duuman prezenton ĝi povas esti ree kodigita al unika kvadrato-libera entjero.

Kvadrato-libera konjekto de Erdős[redakti | redakti fonton]

La centra simbolo de Newton

{2n \choose n}

estas neniam kvadratolibera por n > 4. Ĉi tio estis pruvita en 1996 de Olivier Ramaré kaj Andrew Granville.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

  • A005117 en OEIS - vico de kvadrato-liberaj entjeroj