Pova nombro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Klasifiko de entjeroj laŭ dividebleco
Formoj de faktorigo:
Primo
Komponita nombro
Pova nombro
Kvadrato-libera entjero
Aĥila nombro
Nombroj kun limigitaj sumoj de divizoroj:
Perfekta nombro
Preskaŭ perfekta nombro
Kvazaŭperfekta nombro
Multiplika perfekta nombro
Hiperperfekta nombro
Unuargumenta perfekta nombro
Duonperfekta nombro
Primitiva duonperfekta nombro
Praktika nombro
Nombroj kun multaj divizoroj:
Abunda nombro
Alte abunda nombro
Superabunda nombro
Kolose abunda nombro
Alte komponigita nombro
Supera alte komponigita nombro
Aliaj:
Manka nombro
Bizara nombro
Amikebla nombro
Kompleza nombro
Societema nombro
Nura nombro
Sublima nombro
Harmona dividanta nombro
Malluksa nombro
Egalcifera nombro
Ekstravaganca nombro
Vidu ankaŭ:
Dividanta funkcio
Divizoro
Prima faktoro
Faktorigo

En matematiko, pova nombro estas pozitiva entjero m tia ke por ĉiu primo p dividanta na m, ankaŭ p2 dividas na m. Ekvivalente, pova nombro estas la produto de kvadrato kaj kubo, tio estas, nombro m de formo m = a2b3, kie a kaj b estas pozitivaj entjeroj. Povaj nombroj estas ankaŭ sciata kiel kvadrato-plenaj, aŭ 2-plenaj.

Jen estas listo de ĉiuj povaj nombroj inter 1 kaj 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Ekvivalento de la du difinoj[redakti | redakti fonton]

Se m = a2b3, tiam ĉiu primo en la prima faktorigo de a aperas en la prima faktorigo de m kun eksponento de almenaŭ du, kaj ĉiu primo en la prima faktorigo de b aperas en la prima faktorigo de m kun eksponento de almenaŭ tri; pro tio, m estas pova.

En la alia direkto, supozu ke m estas pova, kun prima faktorigo

m = \prod p_i^{\alpha_i},

kie ĉiu αi ≥ 2. Estu γi egala al 3 se αmi estas nepara, kaj 0 alie, kaj estu βi = αi - γi. Tiam, ĉiuj valoroj βi estas nenegativaj paraj entjeroj, kaj ĉiuj valoroj γi estas ĉu 0 aŭ 3, do

m = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3

liveras la deziratan prezenton de m kiel produto de kvadrato kaj kubo.

En la prezento m = a2b3 kalkulita en tiamaniere b estas kvadratolibera, kaj estas unike difinita per ĉi tiu propraĵo.

Matematikaj propraĵoj[redakti | redakti fonton]

La sumo inversoj de povaj nombroj konverĝas al

\prod_p\left(1+\frac{1}{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3),

kie p ruligas tra ĉiuj primoj, ζ(s) estas la rimana ζ funkcio, kaj ζ(3) estas konstanto de Apéry (Golomb, 1970).

Estu k(x) la kvanto de povaj nombroj en la intervalo [1,x]. Tiam k(x) estas proporcia al la kvadrata radiko de x. Pli detale,

c x^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le c x^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2.173\cdots

(Golomb, 1970).

Povas esti konsiderata la vico de paroj de najbaraj povaj nombroj. La du plej malgrandaj najbaraj povaj nombroj estas 8 kaj 9. Pro tio ke la ekvacio de Pell x2 - 8y2 = 1 havas malfinie multajn integralajn solvaĵojn, estas malfinie multaj paroj de najbaraj povaj nombroj (Golomb, 1970); pli ĝenerale, oni povas trovi najbarajn povajn nombrojn per solvado de simila ekvacio x2 - ny2 = ±1 por ĉiu perfekta kubo n. Tamen, unu el la du povaj nombroj en paro formita en tiamaniere devas esti kvadrato. Laŭ Richard K. Guy, Erdős demandis ĉu estas malfinie multaj paroj de najbaraj povaj nombroj tiaj en kiu neniu nombro en la paro estas kvadrato (ekzemplo de ĉi tia paro: 233, 2332132). Jaroslaw Wroblewski montris ke ja estas malfinie multaj ĉi tiaj paroj per montro ke 33c2+1=73d2 havas malfinie multajn solvaĵojn. Estas konjekto de Erdős, Mollin, kaj Walsh ke ne ekzistas 3 najbaraj povaj nombroj.

Sumoj kaj diferencoj de povaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Ĉiu nepara nombro estas diferenco de du najbaraj kvadratoj: 2k + 1 = (k + 1)2 - k2. Simile, ĉiu multipliko de 4 estas diferenco de la kvadratoj de du nombroj kiuj diferenciĝas inter si je 2. Tamen, unuope para nombro, kio estas, nombro dividebla per du sed ne per kvar, ne povas esti esprimita kiel diferenco de kvadratoj. Ĉi tiu motivigas la demandon de difinado de kiuj unuopaj paraj nombroj povas esti esprimitaj kiel diferencoj de povaj nombroj. Golomb eksponis iujn prezentojn de ĉi tiu speco:

2 = 33 − 52
10 = 133 − 37
18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).

Li konjektis ke 6 ne povas esti tiel prezentita, kaj Golomb konjektis ke estas malfinie multaj entjeroj kiuj ne povas esti prezentitaj kiel diferenco inter du povaj nombroj. Tamen, Narkiewicz montris ke 6 povas esti tiel prezentita en malfinie multaj manieroj, ekzemple

6 = 5473 − 4632,

kaj McDaniel montris ke ĉiu entjero havas malfinie multajn ĉi tiajn prezentojn (McDaniel, 1982).

Erdős konjektis ke ĉiu sufiĉe granda entjero estas sumo de maksimume tri povaj nombroj; ĉi tio estis pruvita de Roger Heath-Brown (1987).

Ĝeneraligo[redakti | redakti fonton]

Pli ĝenerale, oni povas konsideri la entjerojn kies ĉiuj primaj faktoroj havas eksponentojn de almenaŭ k. Tia entjero estas nomata kiel k-pova nombrok-plena nombro.

(2k+1 − 1)k, 2k(2k+1 − 1)k, (2k+1 − 1)k+1

estas k-povaj nombroj en aritmetika vico. Ankaŭ, se a1, a2, ..., as estas k-povaj en aritmetika vico kun komuna diferenco d, tiam

a1(as + d)k,

a2(as + d)k, ..., as(as + d)k, (as + d)k+1

estas s + 1 k-povaj nombroj en aritmetika vico.

Oni havas identon engaĝante k-povaj nombroj:

ak(al + ... + 1)k + ak + 1(al + ... + 1)k + ... + ak + l(al + ... + 1)k = ak(al + ... +1)k+1.

Ĉi tiu donas malfinie multajn (l+1)-opoj de k-povaj nombroj kies sumo estas ankaŭ k-pova. Nitaj montras ke estas malfinie multaj solvaĵoj de x+y=z en interprimaj 3-povaj nombroj (Nitaj, 1995). Cohn konstruas malfinian familion de solvaĵoj de x+y=z en interprimaj ne-kubaj 3-povaj nombroj kiel sekvas: la trio

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

estas solvaĵo de la ekvacio 32X3 + 49Y3 = 81Z3. Oni povas konstrui la alian solvaĵon per opcio X′ = X(49Y3 + 81Z3), Y′ = −Y(32X3 + 81Z3), Z′ = Z(32X3 − 49Y3) kaj nefarante la komunan dividanton.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Cohn, J. H. E.Cohn, J. H. E. (1998). "A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers - Konjekto de Erdős sur 3-povaj nombroj". Math. Comp. 67: 439–440

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Paul Erdős kaj George SzekeresPaul Erdős kaj George Szekeres (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta Litt. Sci. Szeged 7: 95–102

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Solomon W. GolombSolomon W. Golomb (1970). "Powerful numbers - Povaj nombroj". American Mathematical Monthly - Amerika Matematiko Monate 77: 848–852

  • Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition - Nesolvitaj Problemoj en Nombra Teorio, 3-a redakcio. Springer-Verlag, Sekcio B16. ISBN 0-387-20860-7.

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} McDaniel, Wayne L.McDaniel, Wayne L. (1982). "Representations of every integer as the difference of powerful numbers - Prezentoj de ĉiu entjero kiel la diferenco de povaj nombroj". Fibonacci Quarterly - Fibonacci Kvarone 20: 85–87

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Nitaj, AbderrahmaneNitaj, Abderrahmane (1995). "On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers - Sur konjekto de Erdős sur 3-povaj nombroj". Bulletin of the London Mathematical Society - Bulteno de la Londona Matematika Socio 27: 317–318

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]