Teoremo de Rolle

Bildo pri la teoremo de Rolle: y=f(x) estas kontinua en [a,b], derivebla en (a,b) kaj f(a) = f(b). Tiam, ekzistas c, kies derivaĵo nuliĝas.

En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo $[a,b]\quad$, tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo $(a,b)\quad$ kaj $f(a) = f(b)\quad$, tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en $(a,b)\quad$ kies derivaĵo nuliĝas, tio estas $f'(c) = 0\quad$ (krita punkto).

Formale: Estu $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ Se $f\quad$ estas kontinua en $[a,b]\quad$, derivebla en $(a,b)\quad$ kaj $f(a) = f(b)\quad$ tiam $\exists \ c \in (a,b) : f'(c) = 0$

Demonstro

Per teoremoj de Weierstrass kaj Fermat

Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo $[a,b]\quad$ garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos $M\quad$ kaj $m\quad$). Estas du kazoj:

1. Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar $f(a)=f(b)\quad$, $M = m\quad$. Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo $[a,b]\quad$ kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj $c\quad$ de la intervalo $(a,b)\quad$.
2. Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto $c\quad$ en la malfermita intervalo $(a,b)\quad$ estas maksimumo, tio estas $f(c)=M\quad$. Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto $c\quad$.

Per teoremo de Lagrange

Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo $f(a)=f(b)\quad$, $\exists \ c \in (a,b) | f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Se $f(a) = f(b)\quad$, la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.

Kontraŭekzemploj

Dua kontraŭekzemplo. La funkcio $y = |x|\quad$ en la intervalo $[-1,1]\quad$ ne deriveblas en x = 0. La teoremo de Rolle ne estas valida.

La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:

1. $f(x)\quad$ ne estas kontinua en $[a,b]\quad$.
2. $f(x)\quad$ ne estasderivebla en $(a,b)\quad$.
3. $f(a) \neq f(b)\quad$.

Ĝeneraligoj

Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.

Vidu ankaŭ

• Derivaĵo
• Teoremo de Lagrange
• Teoremo de Cauchy