Teoremo de Rolle

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Bildo pri la teoremo de Rolle: y=f(x) estas kontinua en [a,b], derivebla en (a,b) kaj f(a) = f(b). Tiam, ekzistas c, kies derivaĵo nuliĝas.

En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo [a,b]\quad, tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo (a,b)\quad kaj f(a) = f(b)\quad, tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en (a,b)\quad kies derivaĵo nuliĝas, tio estas f'(c)  = 0\quad (krita punkto).

Formale: Estu f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} Se f\quad estas kontinua en [a,b]\quad, derivebla en (a,b)\quad kaj f(a) = f(b)\quad tiam  \exists \ c \in (a,b) : f'(c) = 0

Demonstro[redakti | redakti fonton]

Per teoremoj de Weierstrass kaj Fermat[redakti | redakti fonton]

Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo [a,b]\quad garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos M\quad kaj m\quad). Estas du kazoj:

  1. Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar f(a)=f(b)\quad, M = m\quad. Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo [a,b]\quad kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj c\quad de la intervalo (a,b)\quad.
  2. Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto c\quad en la malfermita intervalo (a,b)\quad estas maksimumo, tio estas f(c)=M\quad. Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto c\quad.

Per teoremo de Lagrange[redakti | redakti fonton]

Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo f(a)=f(b)\quad, \exists \ c \in (a,b) | f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. Se f(a) = f(b)\quad, la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.

Kontraŭekzemploj[redakti | redakti fonton]

Dua kontraŭekzemplo. La funkcio y = |x|\quad en la intervalo [-1,1]\quad ne deriveblas en x = 0. La teoremo de Rolle ne estas valida.

La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:

  1. f(x)\quad ne estas kontinua en [a,b]\quad.
  2. f(x)\quad ne estasderivebla en (a,b)\quad.
  3. f(a) \neq f(b)\quad.

Ĝeneraligoj[redakti | redakti fonton]

Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]