Meznombra valora teoremo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Teoremo de Lagrange

Meznombra valora teoremo, konata ankaŭ kiel teoremo de Lagrange estas teoremo uzata en analitiko.

Estu f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} kontinua en [a, b]\quad kaj derivebla en (a, b)\quad; tiam \exists \ c \ \in (a, b)\  : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Pruvo[redakti | redakti fonton]

Por la pruvo oni necesas funkcion, al kiu la teoremo de Rolle aplikeblas. Oni konstruu funkcion h(x)\quad tiel, ke en la intervalo [a, b]\quad estas kontinua, derivebla kaj h(a) = h(b)\quad: h(x) = f(x) + kx\quad, kie k\quad estas determinenda konstanta por ke la teoremo de Rolle estas valida: h(a) = f(a) + ka\quad kaj h(b) = f(b) + kb\quad. Ĉar h(a) = h(b), tial f(a) + ka = f(b) + kb\quad. Do k = - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. La funkcio estas h(x) = f(x) + - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}kx\quad. Oni apliku la teoremon de Rolle kaj derivu la funkcion: h'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. Se la funkcio estas kontinua, derivebla kaj f(a)=f(b)\quad, tiam \exists \ c \ \in (a, b)\  : f'(c)=0. Do ekzistus c \in (a, b) tiel, ke h'(c)=0\quad, tiel ke f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0. La meznombra valora teoremo estas pruvata.