Meznombra valora teoremo

Teoremo de Lagrange

Meznombra valora teoremo, konata ankaŭ kiel teoremo de Lagrange estas teoremo uzata en analitiko.

Estu $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ kontinua en $[a, b]\quad$ kaj derivebla en $(a, b)\quad$; tiam $\exists \ c \ \in (a, b)\  : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Pruvo

Por la pruvo oni necesas funkcion, al kiu la teoremo de Rolle aplikeblas. Oni konstruu funkcion $h(x)\quad$ tiel, ke en la intervalo $[a, b]\quad$ estas kontinua, derivebla kaj $h(a) = h(b)\quad$: $h(x) = f(x) + kx\quad$, kie $k\quad$ estas determinenda konstanta por ke la teoremo de Rolle estas valida: $h(a) = f(a) + ka\quad$ kaj $h(b) = f(b) + kb\quad$. Ĉar $h(a) = h(b)$, tial $f(a) + ka = f(b) + kb\quad$. Do $k = - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. La funkcio estas $h(x) = f(x) + - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}kx\quad$. Oni apliku la teoremon de Rolle kaj derivu la funkcion: $h'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Se la funkcio estas kontinua, derivebla kaj $f(a)=f(b)\quad$, tiam $\exists \ c \ \in (a, b)\  : f'(c)=0$. Do ekzistus $c \in (a, b)$ tiel, ke $h'(c)=0\quad$, tiel ke $f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$. La meznombra valora teoremo estas pruvata.