Leĝo de Stefan-Boltzmann

Leĝo de Stefan-Boltzmann priskribas tutan povumon de termoradiado de nigra korpo en fiksa temperaturo. Ĝi estis prilaborata en 1879 de Jožef Stefan kaj de Ludwig Boltzmann.

$\Phi = \sigma T^{4} \,$

kaj:

$\Phi$ - Fluo de energio kiu estas elradiadata en orta direkto al surfaco de korpo (objekto) [$W/m^{2}$]

$\sigma$ - konstanto de Stefan-Boltzmann

$T$ - temperaturo en Kelvino

Elkonduko

Leĝo de Stefan-Boltzmann povas elkonduki uzante statistiko de Bose-Einstein por fotonoj kiuj estas fermata en ujo je volumeno V.

Meza energio de fotonoj en fiksa temperaturo T estas:

$\langle E\rangle = \int\limits _{0} ^{\infty} \hbar \omega \rho(\omega) \frac{1}{\exp(\frac{\hbar \omega}{K_{B}T}) -1} d \omega$

kaj:

$\omega$ - frekvenco de fotonoj

$\rho(\omega)$ - denseco de statoj por fotonoj

$\hbar$ - konstanto de Planck

$K_{B}$ - konstanto de Boltzmann

Se ni pliproksimiĝis de frekvenco de fotonoj per

$\rho(\omega) = \frac{V \omega^{2}}{\pi ^{2} c ^{3}}$

ni obtenis:

$\langle E\rangle = \frac{V\hbar}{\pi ^{2} c ^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} \omega^{3} \frac{1}{\exp(\frac{\hbar \omega}{K_{B}T}) -1} d \omega$

Valoro de superan integralon estas:

$\langle E \rangle = \frac{6V\hbar}{\pi ^{2} c ^{3}} \left(\frac{K_{B}T}{\hbar} \right)^{4} \zeta(4)$

kaj:

$\zeta(4)$ - valoro de funkcio zeto de Riemann

Supra rezultado estas homologa kun leĝo de Stefan-Boltzmann.