Valorigo

Je matematiko, valorigo estas funkcio, kiu asignas al ĉiu elemento de komuta korpo valoron en komuta grupo, kiu mezuras ian “gradon” de la korpa elemento.

Difino

Supozu la jenan datenon:

• komuta korpo $K$
• komuta tute ordigita grupo $(\Gamma ,+,\geq )$.

Do, oni povas pligrandigi $\Gamma$ al la ĉi-suba tute ordigita monoido $\Gamma \sqcup \{\infty \}$:

$\infty \geq \alpha \qquad \forall \alpha \in \Gamma$

$\infty +\alpha =\alpha +\infty =\infty \qquad \forall \alpha \in \Gamma$.

Do, valorigo sur $K$ estas bildigo

$v\colon K\to \Gamma \sqcup \{\infty \}$

kiu plenumas la ĉi-subajn aksiomojn:

• Pri ajna $a\in K$, do $v(a)=\infty$ se kaj nur se $a=0$.
• (Homomorfieco) Pri ajnaj $a,b\in K$, do $v(ab)=v(a)+v(b)$.
• Pri ajnaj $a,b\in K$, do $v(a+b)\geq \min(v(a),v(b))$, kaj $v(a+a)=v(a)$.

La valorringo de la valorigo $v$ estas la ringo de elementoj de $K$, kies valoroj estas pozitivaj:

$\{a\in K\colon v(a)\geq 0\}$.

Tiu subaro de $K$ fakte formas subringon de $K$.

Ekvivalenteco inter valorigoj

Sur la sama komuta korpo $K$, du valorigoj

$v\colon K\to \Gamma \sqcup \{\infty \}$

$v\colon K\to \Gamma '\sqcup \{\infty \}$

estas ekvivalentaj se kaj nur se ekzistas ordo-respektanta grupa izomorfio

$\phi \colon \Gamma \to \Gamma '$

tia ke, por ĉiu $a\in K$,

$v'(a)=\phi (v(a))$.

Tio estas ekvivalentorilato; ekvivalentoklaso de valorigoj nomiĝas loko.

Ekzemploj

Laŭ la teoremo de Ostrowski, la valorigoj de la korpo de racionalaj nombroj estas ekvivalentaj al unu el la ĉi-subaj:

• la triviala valorigo,

  $v_{0}(x)={\begin{cases}\infty &x=0\\0&x\neq 0\end{cases}}$

• por ĉiu primo $p$, la p-ada valorigo, se $n\in \mathbb {Z}$ estas entjero kaj $a,b\in \mathbb {Z}$ estas primaj inter si kaj neniu el la du estas divideblaj per $p$,

  $v_{p}(p^{n}a/b)={\begin{cases}\infty &a=0\\n&a\neq 0\end{cases}}$

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Valuation en MathWorld.