Leĝoj de Kepler

La primara kontribuo de Johannes Kepler al astronomio aŭ astrofiziko estis la tri leĝoj de planeda movado. Kepler derivis tiujn ĉi leĝojn parte per studado de la observoj de Brahe. Isaac Newton poste ellaboris siajn leĝojn de movado kaj la universalan graviton kaj konfirmis, ke oni povis derivi ilin de la leĝoj de Kepler. La ĝenerala termino por orbitanta korpo estas "satelito".

Unua leĝo de Kepler (1609): La orbito de planedo ĉirkaŭ stelo estas elipso kun la stelo ĉe unu el la fokusoj.
Dua leĝo de Kepler (1609): Linio liganta planedon al ĝia stelo balaas egalajn areojn dum egalaj intervaloj da tempo.
Tria leĝo de Kepler (1618): La kvadrato de la sidera periodo de orbitanta planedo estas rekte proporcia al la kubo de la granda duonakso.

La unua leĝo de Kepler

La orbito de planedo ĉirkaŭ stelo estas elipso kun la stelo ĉe unu fokuso. Ne estas objekto ĉe la alia fokuso de la planeda orbito. La granda duonakso estas la distanco de la centro de la elipso al la plej foraj punktoj sur la elipso. En ia senco ĝi povas rigardiĝi kiel averaĝa distanco inter la planedo kaj ĝia stelo; sed ĝi ne estas tempa averaĝo en strikta senco, ĉar la planedo pasigas pli da tempo proksime al afelio ol proksime al la perihelio.

Ligo al la leĝoj de Newton

Newton proponis ke per gravito "ĉiu objekto en la universo altiras ĉiun alian objekton laŭ linio inter la centroj de la objektoj proporcie al maso de la unua objekto, proporcie al maso de la dua objekto kaj inverse proporcie al la kvadrato de la distanco inter la objektoj."

Tiu ĉi rubriko pruvas, ke la unua leĝo de Kepler estas konforma al la leĝoj de Newton de Movado. Ni komencas per la leĝo de Newton F=ma:

m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\widehat {\mathbf {r} }}

Tie ĉi ni esprimas F kiel la produton de ties magnitudo kaj direkto. Rememoru, ke en polusaj koordinatoj:

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\widehat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\widehat {\theta }}

{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\widehat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\widehat {\theta }}

En komponanta formo, ni havas:

m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=f(r)

m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }})=0

Nun konsideru la angulan movokvanton:

\mathbf {L} =\left|\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right|=\left|mr^{2}{\dot {\theta }}\right|

Do:

r^{2}{\dot {\theta }}=\ell

kie $\ell =L/m$ estas la angula movokvanto per maso. Nun ni substituu. Lasu:

r={\frac {1}{u}}

{\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }}

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}

La ekvacio de movado en la ${\hat {\mathbf {r} }}$ direkto iĝas:

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{m\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right)

La leĝo de Newton pri gravito diras, ke la centra forto estas inverse proporcia al la kvadrato de la distanoco. Tiel ni havas:

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {k}{m\ell ^{2}}}

kie k estas la proporcia konstanto.

Tiu ĉi diferenciala ekvacio havas la ĝeneralan solvon:

u=A\cos(\theta -\theta _{0})+{\frac {k}{m\ell ^{2}}}.

Post anstataŭigo de u per r kaj farado de θ₀=0:

r={\frac {1}{A\cos \theta +{\frac {k}{m\ell ^{2}}}}}

.

Tio ĉi ja estas la ekvacio de konusa tranĉaĵo kun la origino ĉe unu fokuso. Jen la pruvo.

La dua leĝo de Kepler

Linio liganta planedon al ĝia stelo balaas egalajn areojn dum egalaj intervaloj da tempo.

Oni ankaŭ nomas tion ĉi kiel la Leĝon de Egalaj Areoj. Supozu, ke planedo bezonas unu tagon por veturi de punkto A al B. Dum tiu ĉi tempo, la imaga linio de la suno al la planedo balaas proksimume triangulan areon. Tiu ĉi sama areo balaiĝas ĉiutage.

Dum planedo vojaĝas en sia elipsa orbito, ĝia distanco de la suno varias. Dum la areo balaata dum ajna periodo samas kaj pro tio ke la distanco de la orbitanta planedo al ĝia stelo varias, oni povas konkludi, ke por konstanteco de la balaita areo la rapido de planedo devas varii. Planedoj moviĝas pli rapide ĉe la perihelio kaj malpli rapide ĉe la afelio.

Tiu ĉi leĝo disvolviĝis, parte, de la konstatoj de Brahe, kiuj indikis, ke la rapideco de la planedoj ne estas konstanta.

Tiu ĉi leĝo respondas al la konserva leĝo de angula movokvanto en la donita situacio.

Pruvo de la dua leĝo de Kepler

Premisante la leĝojn de Newton pri movado, ni povas montri, ke la dua leĝo de Kepler estas konsekvenca. Laŭ difino, la angula movokvanto $\mathbf {L}$ de punkta maso kun maso $m$ kaj rapido $\mathbf {v}$ estas:

\mathbf {L} \equiv m\mathbf {r} \times \mathbf {v}

.

kie $\mathbf {r}$ estas la pozicio de la partiklo.

Ĉar $\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$ , ni havas

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}

Post farado de la tempa derivaĵo de ambaŭ flankoj de la ekvacio:

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0

ĉar la vektora produto de paralelaj vektoroj estas 0. Ni povas diri ke $|\mathbf {L} |$ estas konstanta.

La areo balaita de linio liganta la planedon al la suno estas duono de la areo de la paralelogramo formita de $\mathbf {r}$ and $d\mathbf {r}$ .

dA={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}|\mathbf {r} \times d\mathbf {r} |={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left|\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}dt\right|={\frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt

Pro tio, ke $|\mathbf {L} |$ estas konstanta, la balaita areo estas ankaŭ konstanta. Jen la pruvo.

La tria leĝo de Kepler

La kvadrato de la sidera periodo de orbitanata planedo estas rekte proporcia al la kubo de la granda duonakso.

P² ~ a³

P = sidera periodo de la objekto en jaroj.

a = granda duonakso, en AU

Tiel, ne nur la longo de la orbito pliiĝas kun pliiĝo de longo de la orbita duonakso, sed ankaŭ la orbita rapido ankaŭ malpliiĝas tiel ke la pliiĝo en sidera periodo estas pli ol proporcia.

Vidu la efektivajn ciferojn pri la suna sistemo.

Newton modifis tiun ĉi trian leĝon, notinte, ke la periodo ankaŭ estas influata de la maso de la orbitanta korpo; tamen tipe la centra korpo estas tiom pli masa ol la orbitanta korpo, ke la maso de la orbitanta korpo povas esti ignorata. (Vidu malsupren).

Aplikebleco

La leĝoj estas aplikeblaj, kiam ajn kompare malgranda masa objekto rivoluas ĉirkaŭ multe pli grande mas pro gravita altiro. Premisiĝas, ke la gravita efiko de la malpli masa objekto sur la pli masa estas neglektebla. Ekzemplo estas la kazo de satelito rivoluanta ĉirkaŭ la Tero.

Aplikado

Supozu orbiton kun granda duonakso a, malgranda duonakso b, kaj discentreco ε. Por konverti la leĝojn al prognozoj, Kepler komencis per aldonado de asociata cirklo (tiu kun diametro egala al la granda akso) kaj difinis tiujn ĉi punktojn:

c centro de la elipso kaj la asociata cirklo.
s suno ĉe unu fokuso de la elipso; ${\mbox{longo }}cs=a\varepsilon$
p la planedo
Z la perihelio
x la projekcio de la planedo al la asociata cirklo; tiam ${\mbox{areo }}sxz={\frac {b}{a}}{\mbox{areo }}spz$
y la punkto sur la cirklo tiel ke ${\mbox{areo }}cyz={\mbox{areo }}sxz={\frac {b}{a}}{\mbox{areo }}spz$

kaj tri anguloj mezurita de la perihelio:

vera anomalio $T=\angle zsp$ , la planedo kiel vidata de la suno
discentra anomalio $E=\angle zcx$ , x kiel vidata de la centro
meza anomalio $M=\angle zcy$ , y kiel vidata de la centro.

Tiam

{\mbox{areo }}cxz={\mbox{areo }}cxs+{\mbox{areo }}sxz

={\mbox{areo }}cxs+{\mbox{areo }}cyz

{\frac {a^{2}}{2}}E=a\varepsilon {\frac {a}{2}}\sin E+{\frac {a^{2}}{2}}M

donanta la Ekvacion KEPLER

M=E-\varepsilon \sin E

.

Por ligi E kaj T, supozu ke $r={\mbox{lengo }}sp$ tiam,

a\varepsilon +r\cos T=a\cos E

and

r\sin T=b\sin E

r={\frac {a\cos E-a\varepsilon }{\cos T}}={\frac {b\sin E}{\sin T}}

\tan T={\frac {\sin T}{\cos T}}={\frac {b}{a}}{\frac {\sin E}{\cos E-\varepsilon }}={\frac {{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\sin E}{\cos E-\varepsilon }}

kiu estas ambigua sed uzebla. Pli bona formo sekvas de iom da trompo kun trigonometriaj identoj:

\tan {\frac {T}{2}}={\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}\tan {\frac {E}{2}}

(Ĝis nun nur la leĝoj de geometrio utiliĝis.)

Notu ke ${\mbox{areo }}spz$ estas la areo balaita de la perihelio; per la dua leĝo, tio estas porpocia al tempo de la perihelio. Sed ni difinis ${\mbox{areo }}spz={\frac {a}{b}}{\mbox{areo }}cyz={\frac {a}{b}}{\frac {a^{2}}{2}}M$ kaj tiel M estas ankaŭ proporcia al tempo de la perihelio — tiu ĉi estas kial ĝi enkondukiĝis.

Ni nun havas la ligon inter tempo kaj la pozicio en orbito. La ruzo estas ke ekvacio Kepler ne povas rearanĝigi izoligi E'; irado laŭ la tempo-al-pozicia direkto postulas iteracion (tiel kiel metodo de Newton aŭ proksimuma esprimo tiel kiel:

E\approx M+\left(\varepsilon -{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{3}\right)\sin M+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\sin 2M+{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{3}\sin 3M

tra la revena teoremo Lagrange. Por malgranda $epsilon; tipa de la planedoj (alie ol Plutono tiaj serioj estas ja fidelaj kun nur kelkaj terminoj; oni povus eĉ disvolvi serion kalkulanta Tn rekte de M.

Kompreno de Kepler pri la leĝoj

Kepler ne komprenis, kial liaj leĝoj estis ĝustaj; estis Isaac Newton, kiu malkovris la respondon al tio ĉi post pli ol kvindek jaroj. Newton, komprenante ke lia tria leĝo pri movado rilatis al la tria leĝo de Kepler pri planeda movado, elpensis la sekvan: