Absoluta konverĝo

En matematiko, serio aŭ integralo estas konverĝa absolute, se la sumo aŭ integralo de la absoluta valoro de la termo aŭ integralato estas finia. La nocio absoluta konverĝo estas grava, ĉar ĝi estas ĝenerale postulata por reordigoj kaj produtoj de sumoj.

Pli detale, serio

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

estas konverĝa absolute se

$\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|<\infty .$

Se $a_{n}$ estas kompleksa nombro (aŭ, pli ĝenerale, elemento de vektora spaco), ĉi tiu teoremo povas esti alĝustigita jene: la sumo de ĉiuj $a_{k}$ baziĝas sur la duvalenta operacio de vektora adicio en la kompleksa ebeno (respektive, la vektora spaco). Se la longo de la vojo, kiu estas la sumo de ĉiuj longoj $|a_{k}|$, estas finia, la fina punkto estas en finia distanco de la 0.

Ankaŭ, integralo

$\int _{A}f(x)\,dx$

estas konverĝa absolute, se la integralo de la respektiva absoluta valoro estas finia, t.e.

$\int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .$

Reordigoj

Absoluta konverĝo signifas ke la valoro de la sumo aŭ integralo estas sendependa de la ordo en kiu la sumo estas kalkulata. Tio estas, reordigo de la serio

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}$

kie σ estas permuto de la naturaj nombroj, ne ŝanĝas la sumon al kiu la serio konverĝas. Simile estas pri integraloj.

En la lumo de lebega teorio de integralado, sumoj povas esti traktataj kiel specialaj okazoj de integraloj, iom kiel aparta okazo.

Produtoj de serio

La koŝia produto de du serioj konverĝas al la produto de la sumoj, se almenaŭ unu el la serioj konverĝas absolute. Estu:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B$

La koŝia produto estas difinita kiel la sumo de termoj $c_{n}$ kie:

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$

Tiam, se almenaŭ unu el sumoj de $a_{n}$ kaj $b_{n}$ konverĝas absolute, do

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB$

Kondiĉa konverĝo

Kondiĉe konverĝa serio aŭ integralo estas unu tiu kiu konverĝas sed ne konverĝas absolute. Bernhard Riemann pruvis ke kondiĉe konverĝa serio povas esti reordigita por konverĝi al ĉiu donita nombro, inkluzivante na ∞ kaj −∞. Vidu en rimana seria teoremo.

Vidu ankaŭ

• Koŝia ĉefa valoro