Eŭklida ringo

En ringo-teorio, eŭklida ringo estas integreca ringo, por kiu validas la eŭklida algoritmo por divido.

Difino

Por integreca ringo $R$, eŭklida funkcio de $R$ estas funkcio

$f\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N} =\{0,1,2,\dotsc \}$,

kiu plenumas la jenan aksiomon:

• Por iuj ajn $a,b\in R$, se $b$ ne estas nul, tiam ekzistas elementoj $p,q\in R$, tiaj ke $a=bq+r$ kaj aŭ $r=0$, aŭ $f(r)<f(b)$.

Eŭklida funkcio estas propra, se ĝi plenumas la jenan plian aksiomon:

• Por iuj ajn nenulaj $a,b\in R$, $f(a)\leq f(ab)$.

Por integreca ringo $R$, la ĉi-subaj kriterioj estas ekvivalentaj, kaj integreca ringo plenumanta tiujn kriteriojn nomiĝas eŭklida ringo:

• Ekzistas almenaŭ unu eŭklida funkicio de $R$
• Ekzistas almenaŭ unu propra eŭklida funkicio de $R$

Propraĵoj

Ĉiu eŭklida ringo estas ĉefideala integreca ringo.

Ekzemploj

Ĉiu kampo estas eŭklida ringo; la propra eŭklida funkcio estas

$f(x)=1$.

La ringo de entjeroj $\mathbb {Z}$ estas eŭklida ringo; la propra eŭklida funkcio estas

$f(x)=|x|$.

La ringo de gaŭsaj entjeroj $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ estas eŭklida ringo; la propra eŭklida funkcio estas

$f(a+b\mathrm {i} )=a^{2}+b^{2}\qquad \forall a,b\in \mathbb {Z}$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Euclidean domain en MathWorld.