Holomorfa funkcio

En kompleksa analitiko, holomorfa funkcio aŭ holomorfio estas kompleksvalora funkcio sur subaro de kompleksa ebeno (aŭ pli ĝenerale kompleksa sternaĵo), kiu estas derivebla kaj analitika en la kompleksa senco. Pri reelaj funkcioj, la koncepto de deriveblo kaj analitikeco estas tre malsamaj; tamen por kompleksaj funkcioj la du konceptoj estas samampleksaj.

Difino

Por kontinua funkcio

$f\colon U\to \mathbb {C}$

sur malfermita subaro $U\subseteq \mathbb {C}$ de la kompleksa ebeno $\mathbb {C} =\{x+\mathrm {i} y\colon x,y\in \mathbb {R} \}$, la jenaj aksiomoj estas ekvivalentaj, kaj funkcio plenumanta ilin nomiĝas holomorfa:

• (Ĉiea kompleksa deriveblo) Ĉe ĉiu punkto $z_{0}\in U$, la ĉi-suba kompleksa derivo ekzistas:

  $f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$.

• (Reeldiferenciala kriterio) La reela kaj imaginara partoj $f(z)=u(z)+\mathrm {i} v(z)$ estas kontinue deriveblaj (t.e. $u,v\in {\mathcal {C}}^{1}(U,\mathbb {R} )$), kaj plenumas la ekvaciojn de Cauchy-Riemann:

  ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

  ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$.

• (Kompleksa analitikeco) Ĉe ĉiu punkto $z_{0}\in U$, ekzistas ĉirkaŭaĵo $V\subseteq U$ de $z_{0}$ kaj vico de kompleksaj nombroj $a_{0},a_{1},\dotsc \in \mathbb {C}$, tia ke la jena serio konverĝas al $f$ ĉie en $V$:

  $f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}(z-z_{0})^{n}$.

(Kiel kutime, ni uzas konvencian notacion, ke$z=x+\mathrm {i} y$.)

Pli ĝenerale, oni povas difini holomorfajn funkciojn sur kompleksa sternaĵo. Holomorfa funkcio sur kompleksa sternaĵo estas funkcio, kiu estas ĉie loke holomorfa (en la senco pri subaroj de kompleksa ebeno) laŭ kompleksa atlaso.

Ekzemploj

Ĉiu polinomo estas holomorfa funkcio sur $\mathbb {C}$.

La eksponenta funkcio $\exp$, kaj ĝiaj reela kaj imaginara partoj sinuso kaj kosinuso, estas holomorfaj sur $\mathbb {C}$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Holomorphic function en MathWorld.