Homogena funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

 f: V \rarr W \qquad\qquad

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo  F \qquad\qquad.

Ni diru, ke  f \qquad\qquad estas homogena de grado  k \qquad\qquad, se la ekvacio

 f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) \qquad\qquad (*)

veras por ĉiuj  \alpha \isin F \qquad\qquad kaj  \mathbf{v} \isin V \qquad\qquad.

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})

Plurlineara funkcio  f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W \qquad\qquad estas homogena de grado n:

f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)

Eŭlera teoremo pri homogenaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Funkcio

 f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2,..., x_n) \qquad\qquad

kiu estas homogena de grado  k \qquad\qquad, havas partajn derivaĵojn de grado  k-1 \qquad\qquad. Plue, ĝi verigas la eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke

 \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi-tio estas


\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x})
= k f(\mathbf{x})

Pruvo

Estu f=f(x_1,\ldots,x_n) , trovu derivaĵon de

f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})

je \alpha. Laŭ ĉena regulo estas

\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_1)+ \cdots +
\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{y}),

kaj do

y_1\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})+ \cdots
+ y_n\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{y}).

Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

 \mathbf{y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{y}) = k \alpha^{k-1}f(\mathbf{y}), \qquad\qquad \nabla= \left(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n} \right),

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti \alpha=1.

Ĝeneraligoj[redakti | redakti fonton]

Pli ĝenerale, funkcio  f \qquad\qquad estas nomata homogena, se la ekvacio  f(\alpha \mathbf{v}) = g(\alpha) f(\mathbf{v}) \qquad\qquad veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio  g \qquad\qquad.

Foje funkcio veriganta  (*) \qquad\qquad por ĉiu pozitiva  \alpha \qquad\qquad nomiĝas pozitive homogena (ĉi-tio postulas, ke la kampo  F \qquad\qquad estu  \reals \qquad\qquad; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]