Homogena funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo .

Ni diru, ke estas homogena de grado , se la ekvacio

veras por ĉiuj kaj .

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

Plurlineara funkcio estas homogena de grado n:

Eŭlera teoremo pri homogenaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Funkcio

kiu estas homogena de grado , havas partajn derivaĵojn de grado . Plue, ĝi verigas la eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi-tio estas

Pruvo

Estu , trovu derivaĵon de

je . Laŭ ĉena regulo estas

,

kaj do

.

Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

,

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti .

Ĝeneraligoj[redakti | redakti fonton]

Pli ĝenerale, funkcio estas nomata homogena, se la ekvacio veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio .

Foje funkcio veriganta por ĉiu pozitiva nomiĝas pozitive homogena (ĉi-tio postulas, ke la kampo estu ; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]