Homogena funkcio

En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

$f:V\rightarrow W\qquad \qquad$

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo $F\qquad \qquad$.

Ni diru, ke $f\qquad \qquad$ estas homogena de grado $k\qquad \qquad$, se la ekvacio

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )\qquad \qquad (*)$

veras por ĉiuj $\alpha \in F\qquad \qquad$ kaj $\mathbf {v} \in V\qquad \qquad$.

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$

Plurlineara funkcio $f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W\qquad \qquad$ estas homogena de grado n:

$f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$

Eŭlera teoremo pri homogenaj funkcioj

Funkcio

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\qquad \qquad$

kiu estas homogena de grado $k\qquad \qquad$, havas partajn derivaĵojn de grado $k-1\qquad \qquad$. Plue, ĝi verigas la eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke

$\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad$

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )$

Pruvo

Estu $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$, trovu derivaĵon de

$f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )$

je $\alpha$. Laŭ ĉena regulo estas

${\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )$,

kaj do

$y_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} )+\cdots +y_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )$.

Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

$\mathbf {y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} ),\qquad \qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$,

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti $\alpha =1$.

Ĝeneraligoj

Pli ĝenerale, funkcio $f\qquad \qquad$ estas nomata homogena, se la ekvacio $f(\alpha \mathbf {v} )=g(\alpha )f(\mathbf {v} )\qquad \qquad$ veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio $g\qquad \qquad$.

Foje funkcio veriganta $(*)\qquad \qquad$ por ĉiu pozitiva $\alpha \qquad \qquad$ nomiĝas pozitive homogena (ĉi tio postulas, ke la kampo $F\qquad \qquad$ estu $\mathbb {R} \qquad \qquad$; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

Eksteraj ligiloj

• [1]