En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.
Formale, estu
![{\displaystyle f:V\rightarrow W\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b5f7b25bb264871df9cbf0e5baa3f87169d848)
funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo
.
Ni diru, ke
estas homogena de grado
,
se la ekvacio
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )\qquad \qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44ca3bfcd5b5aa5bf121c824b113ebeb8ac1d88)
veras por ĉiuj
kaj
.
Lineara funkcio estas homogena de grado 1.
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6016686092a9e78baecb0c45010bc8319d3981)
Plurlineara funkcio
estas homogena de grado n:
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283a9ebe6e8be28f3186563249e32ca59fc67554)
Funkcio
![{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f104b34c6685fbbda8876ef93d1035c4fbd9db94)
kiu estas homogena de grado
, havas partajn derivaĵojn de grado
. Plue, ĝi verigas la eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke
![{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cee42d04952e60d07f86fc3b4d79671b482cd82)
Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33ec9c0331da90e853beb727e56a2a45eb5a87e)
Pruvo
Estu
, trovu derivaĵon de
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af912b96b4489efbfaf4077853750dbd44376fc6)
je
. Laŭ ĉena regulo estas
,
kaj do
.
Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel
,
de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti
.
Pli ĝenerale, funkcio
estas nomata homogena, se la ekvacio
veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio
.
Foje funkcio veriganta
por ĉiu pozitiva
nomiĝas pozitive homogena (ĉi tio postulas, ke la kampo
estu
; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).