Jakobia matrico

En vektora kalkulo, jakobia matrico estas la matrico de ĉiuj partaj derivaĵoj de la unua-ordo de vektoro-valora funkcio (vektora kampo). Ĝi gravas ĉar ĝi prezentas la plej bonan linearan proksimumon de la diferenciala funkcio ĉirkaŭ la donita punkto. En ĉi tiu senco, la jakobia matrico estas la derivaĵo de plurvariabla funkcio. Ĝia nomo estas kunligita al la germana matematikisto Carl Jacobi (1804-1851).

La jakobia determinanto estas determinanto de la jakobia matrico, kiu estas difinita se ĝi estas kvadrata matrico.

Jakobia matrico

Supozi F : Rⁿ → R^m estas funkcio de eŭklida n-spaco al eŭklida m-spaco. Tia funkcio estas donita per m reelo-valoraj komponantaj funkcioj, y₁(x₁, ..., x_n), ..., y_m(x₁,...,x_n). La partaj derivaĵoj de ĉiuj ĉi tiuj funkcioj (se ili ekzistas) povas esti organizitaj en m×n matricon, la jakobian matricon de F, kiel sekvas:

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

Ĉi tiu matrico estas skribata kiel

$J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n})\qquad {\mbox{or by}}\qquad {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}$

La i-a linio de ĉi tiu matrico estas donita per la gradiento de la funkcio y_i por i=1, ..., m.

Se p estas punkto en Rⁿ kaj F estas diferencialebla je p, tiam ĝia derivaĵo estas donita per J_F(p) (kaj ĉi tiu estas la plej facila maniero komputi la derivaĵon). En ĉi tiu okazo, la lineara surĵeto priskribita per J_F(p) estas la plej bona lineara proksimuma kalkulado de F proksime de la punkto p, en la senco kiu

$F(\mathbf {x} )\approx F(\mathbf {p} )+J_{F}(\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )$

por x proksime al p.

Ekzemplo

La Jakobia matrico de la funkcio F : R³ → R⁴ kun komponantoj:

$y_{1}=x_{1}\,$

$y_{2}=5x_{3}\,$

$y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,$

$y_{4}=x_{3}\sin(x_{1})\,$

estas:

$J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos(x_{1})&0&\sin(x_{1})\end{bmatrix}}$

Jakobia determinanto

Se m = n, tiam F estas funkcio de n-spaco al n-spaco kaj la jakobia matrico estas kvadrata matrico. Onii povas tiam kalkuli ĝian determinanton, sciata kiel la jakobia determinanto aŭ jakobiano.

La jakobia determinanto, je donita punkto donas gravan informon pri la konduto de F proksime al la punkto. Ekzemple, la kontinue diferencialebla funkcio F estas inversigebla proksima p se la jakobia determinanto je p estas ne nula. Ĉi tiu estas la inversa funkcia teoremo. Plu, se la jakobia determinanto je p estas pozitiva, tiam F konservas orientiĝon proksime al p; se ĝi estas negativa, F ŝanĝas la orientiĝon. La absoluta valoro de la jakobia determinanto je p donas la faktoron per kiu la funkcio F elvolvas volumenojn proksime al p; ĉi tio estas kiel ĝi okazas en la ĝenerala anstataŭa regulo.

Ekzemplo

La jakobia determinanto de la funkcio F : R³ → R³ kun komponantoj

$y_{1}=5x_{2}\,$

$y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\,$

$y_{3}=x_{2}x_{3}\,$

estas:

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}$

De ĉi tiu ni vidas ke F ŝanĝas orientiĝon proksime tiuj punktoj kie x₁ kaj x₂ havas la saman signon; la funkcio estas loke inversigebla ĉie escepte de punktoj kie x₁=0 aŭ x₂=0. Se starti kun malgranda objekto ĉirkaŭ la punkto (1, 1, 1) kaj apliki funkcion F al la objekto, rezultiĝos objekto de 40-foje pli granda volumeno ol la originala unu.

Uzoj

La jakobia determinanto estas uzata en ŝanĝo de variabloj dum integralado de funkcio tra ĝia domajno. Por enkalkuli la ŝanĝon de bazo la jakobia determinanto estas kiel multiplika faktoro en la integralo. Normale estas postulite ke la ŝanĝo de bazo estas farita tiel ke estas riceproke unuvalora funkcio inter la koordinatoj antaŭ kaj poste, kiu postulo egalas al tio ke la jakobia determinanto estas ne nula.

Vidu ankaŭ

• Matrico de Hesse

Eksteraj ligiloj

• [1] Arkivigite je 2006-04-21 per la retarkivo Wayback Machine
• Jakobia determinanto je Mathworld