Nombro de Carmichael

Estas ankaŭ teoremo de Carmichael pri fibonaĉi-nombroj.

---

En nombroteorio, nombro de Carmichael aŭ absoluta pseŭdoprimo de Fermat estas komponita pozitiva entjero n, kiu kontentigas la kongruecon $b^{n-1}~\equiv 1{\pmod {n}}$ por ĉiu entjero b, kiu estas reciproke prima kun n (vidu en modula aritmetiko).

Tiaj nombroj estas nomitaj omaĝe al Robert Daniel Carmichael. La nombroj de Carmichael estas nombroj de Knödel K₁.

Ĝenerala priskribo

Malgranda teoremo de Fermat diras, ke, se p estas primo kaj a estas reciproke prima kun p, 1≤a<p, tiam a^p-1-1 estas dividebla per p. Se nombro x ne estas primo, a kaj x estas reciproke primaj, 1≤a<x kaj x dividas la nombron a^x-1-1, tiam x estas pseŭdoprimo al bazo a. Nombro x, kiu estas pseŭdoprimo por ĉiuj valoroj de a reciproke primaj kun x estas nombro de Carmichael.

Malgranda teoremo de Fermat diras, ke ĉiuj primoj havas certan propraĵon. En ĉi tiu senco nombroj de Carmichael estas similaj al primoj.

Nombroj de Carmichael estas gravaj, ĉar ili povas ĉirkaŭiri la primeco-teston de Fermat: ĉiuj nombroj estas por ili ĉiam neatestantoj de Fermat. Pro tio, ke nombroj de Carmichael ekzistas, ĉi tiu primeca testo ne povas pruvi primecon de nombro, kvankam ĝi povas ankoraŭ esti uzata por pruvi, ke nombro estas komponita.

Krome, se la nombroj iĝas pli grandaj, nombroj de Carmichael inter ili iĝas tre maloftaj. Ekzemple, inter 1 kaj 10¹⁸ ekzistas nur 1,401,644 nombroj de Carmichael (averaĝe proksimume unu por 700·10⁹ nombroj).

Alternativa kaj ekvivalenta difino de nombro de Carmichael estas donita per teoremo de Korselt.

Teoremo (Korselt 1899): Pozitiva komponita entjero n estas nombro de Carmichael, se kaj nur se n estas kvadrato-libera, kaj por ĉiuj primaj divizoroj p de n, validas (p - 1) | (n - 1) (la notacio a | b indikas, ke la nombro a dividas la nombron b).

El ĉi tiu teoremo sekvas ke ĉiuj nombroj de Carmichael estas neparaj.

Korselt estis la unua, kiu identigis ĉi tiujn ecojn, sed li ne sukcesis trovi ekzemplon. En 1910 Carmichael trovis la unuan kaj plej malgrandan ĉi tian nombron, 561.

Tion, ke 561 estas nombro de Carmichael, pruveblas dank' al la teoremo de Korselt. Ja 561 = 3 ∙ 11 ∙ 17 estas kvadratolibera kaj 2 | 560, 10 | 560 kaj 16 | 560.

La plej malgrandaj nombroj de Carmichael estas

561 = 3 ∙ 11 ∙ 17   (2 | 560, 10 | 560, 16 | 560)

1105 = 5 ∙ 13 ∙ 17   (4 | 1104, 12 | 1104, 16 | 1104)

1729 = 7 ∙ 13 ∙ 19   (6 | 1728, 12 | 1728, 18 | 1728)

2465 = 5 ∙ 17 ∙ 29   (4 | 2464, 16 | 2464, 28 | 2464)

2821 = 7 ∙ 13 ∙ 31   (6 | 2820, 12 | 2820, 30 | 2820)

6601 = 7 ∙ 23 ∙ 41   (6 | 6600, 22 | 6600, 40 | 6600)

8911 = 7 ∙ 19 ∙ 67   (6 | 8910, 18 | 8910, 66 | 8910)

J. Chernick pruvis teoremon en 1939 kiu povas esti uzita por konstrui subaron de nombroj de Carmichael. Nombro (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1) estas nombro de Carmichael, se ĉiuj ĝiaj tri faktoroj estas primoj.

Löh kaj Niebuhr en 1992 trovis iujn el gigantaj nombroj de Carmichael, inkluzive unu kun 1101518 faktoroj kaj pli ol 16 milionoj da ciferoj.

Ecoj

Nombro de Carmichael havas almenaŭ 3 primajn faktorojn. La unuaj nombroj de Carmichael kun k primaj faktoroj estas:

k
3	561 = 3 ∙ 11 ∙ 17
4	41041 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 41
5	825265 = 5 ∙ 7 ∙ 17 ∙ 19 ∙ 73
6	321197185 = 5 ∙ 19 ∙ 23 ∙ 29 ∙ 37 ∙ 137
7	5394826801 = 7 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 23 ∙ 31 ∙ 67 ∙ 73
8	232250619601 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 31 ∙ 37 ∙ 73 ∙ 163
9	9746347772161 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 19 ∙ 31 ∙ 37 ∙ 41 ∙ 641

La unuaj nombroj de Carmichael kun 4 primaj faktoroj estas:

i
1	41041 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 41
2	62745 = 3 ∙ 5 ∙ 47 ∙ 89
3	63973 = 7 ∙ 13 ∙ 19 ∙ 37
4	75361 = 11 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 31
5	101101 = 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 101
6	126217 = 7 ∙ 13 ∙ 19 ∙ 73
7	172081 = 7 ∙ 13 ∙ 31 ∙ 61
8	188461 = 7 ∙ 13 ∙ 19 ∙ 109
9	278545 = 5 ∙ 17 ∙ 29 ∙ 113
10	340561 = 13 ∙ 17 ∙ 23 ∙ 67

La dua nombro de Carmichael (1105) povas esti esprimita kiel sumo de du kvadratoj en pli multaj manieroj ol ĉiu pli malgranda nombro. La tria nombro de Carmichael (1729) estas la nombro de Hardy-Ramanujan: la plej malgranda nombro, kiu povas esti esprimita kiel sumo de du kuboj en du malsamaj manieroj.

Distribuo

Estu C(X) kvanto de nombroj de Carmichael malpli grandaj ol aŭ egalaj al X.

La tabelo donas distribuon de nombroj de Carmichael supren ĝis potencoj de 10 (de Pinch 2006):

n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
C(10n)	1	7	16	43	105	255	646	1547	3605	8241	19279	44706	105212	246683	585355	1401644	3381806	8220777

Erdős pruvis en lia 1956 papero ke

$C(X)<X\exp {\frac {-k\log {X}\log {\log {\log {X}}}}{\log {\log {X}}}}$

por iu konstanto k.

La tabelo pli sube donas aproksimaĵojn por ĉi tiu konstanto:

n	k por C(10n)
4	2,19547
6	1,97946
8	1,90495
10	1,86870
12	1,86377
14	1,86293
16	1,86406
18	1,86522
20	1,86598

En la alia direkto, Paŭlo Erdős heŭristike argumentis ke devas ekzisti malfinie multaj nombroj de Carmichael. En 1994 estis montrite de W. R. (Red) Alford, Andrew Granville kaj Carl Pomerance ke reale ekzistas malfinie multaj nombroj de Carmichael. Aparte, ili montris ke

C(X) > X^(2/7)

por sufiĉe granda X . Glyn Harman pruvis ke

C(X) > X^0.332

denove por sufiĉe granda X. Ĉi tiu aŭtoro sinsekve plibonigis la eksponenton al proksime kaj super 1/3. Paŭlo Erdős ankaŭ donis heŭristikon sugestantan ke lia supera baro devas esti proksima al la vera kurzo de kreskado de C(X).

Eksteraj ligiloj

• A002997 en OEIS - nombroj de Carmichael
• A006931 en OEIS - unuaj nombroj de Carmichael kun certa kvanto de primaj faktoroj ekde 3
• A074379 en OEIS - nombroj de Carmichael kun 4 primaj faktoroj
• Eric W. Weisstein, Nombro de Carmichael en MathWorld.
• Tabelo de nombroj de Carmichael
• Mathpages: La dualeco de 1729 Arkivigite je 2007-09-30 per la retarkivo Wayback Machine
• Finaj respondoj de modula aritmetiko
• Richard G.E. Pinch. La nombroj de Carmichael supren ĝis 10²⁰ (listo de eldonoj)
• Günter Löh kaj Wolfgang Niebuhr (1996). Nova algoritmo por konstruado de grandaj nombroj de Carmichael (pdf)