Polariza idento

En matematiko, polariza idento estas idento kun eroj de normigita vektora spaco super la reelaj nombroj kies normo estas difinita per ĝia ena produto. Tiam por ĉiuj eroj de la spaco (vektoroj) x kaj y

||x + y||² = ||x||² + ||y||² + 2 <x, y>   (1)

Ĉi tiu idento estas analoga al la formulo por la kvadrato de dutermo:

(x + y)² = x² + y² + 2xy   (2)

Konsekvencoj

Se y en ekvacio (1) estas anstataŭigita per -y la rezulto estas

||x - y||² = ||x||² + ||y||² - <x, y>   (3)

kiu respektivas al la kosinusa leĝo kaj estas analoga al ekvacio (2) kun y anstataŭigita per -y:

(x - y)² = x² + y² - 2xy   (4)

Kunadicio de ekvacioj (1) kaj (3) rezultas je

||x + y||² + ||x - y||² = 2||x||² + 2||y||²

kiu respektivas al la paralelograma leĝo kaj estas analoga al la sumo de ekvacioj (2) kaj (4):

(x + y)² + (x - y)² = 2x² + 2y²

Subtraho de (1) kaj (3) rezultas je

||x + y||² - ||x - y||² = 4<x, y>

kaj do

$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2})$

Vektora spaco super kompleksaj nombroj

Polariza idento en vektora spaco super la kompleksaj nombroj donas esprimon por la ena produto

$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2})$

kaj por ĝia reela parto kaj imaginara parto aparte

$\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2})$

$\operatorname {Im} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2})$

Pruvo

Estu la normo de vektoro difinita kiel la kvadrata radiko de la ena produto de vektoro kun si

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\qquad \qquad (5)$

Nun trovu la enan produton de x + y kun sin. Per distribueco de la unua faktoro kun respekto al la sumo en la dua faktoro, kio estas pro lineareco de la ena produto, rezultas

<x + y, x + y> = <x + y, x> + <x + y, y>

Plu per distribueco de la duaj faktoroj kun respekto al la sumoj en la unuaj faktoroj rezultas

<x + y, x + y> = <x, x> + <y, x> + <x, y> + <y, y>

kaj pro tio ke la ena produto estas komuta <y, x> = <x, y> kaj do

<x + y, x + y> = <x, x> + 2<x, y> + <y, y>

Per la difino de normo (5), de ĉi tie rezultas la polariza idento.