Sesuma nombrosistemo

Sesuma nombrosistemo estas pozicia nombrosistemo, kiu havas ses kiel bazon. Do ĝi uzas nur 6 ciferojn por reprezentado de nombroj. Ĝin sendepende adoptis malgranda nombro de kulturoj. Kiel dekuma nombrosistemo, ĝi estas duonprima, kvankam ĝi estas unika, ĉar ses estas produkto de du sinsekvaj nombroj, kiuj ambaŭ estas primoj (2 kaj 3). Pro tiu fakto, ke ses estas supera altkomponita nombro, multaj argumentoj faritaj favore al la dekduuma nombrosistemo sistemo ankaŭ aplikeblas al sesuma kaj povas ŝajni eĉ pli trafaj. Fakte la sesuma logiko povas esti perceptata kiel la etendaĵo de ternaraj logikaj sistemoj de Jan Łukasiewicz kaj Stephen Cole Kleene adoptitaj por klarigi la logikon de statistikaj testoj kaj skemoj kun forestantaj datumoj en sciencoj uzantaj empiriajn metodojn.

Matematikaj ecoj

Primoj

En sesuma sistemo, ĉiuj primoj, krom 2 kaj 3, havas 1 aŭ 5 kiel la fina cifero. Do sesumaj primoj estas jenaj

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (A004680 en OEIS)

Tiel okazas, pro tio ke ĉiu primo p pli granda ol 3 havas la modulan aritmetikan rilaton, laŭ kiu p ≡ 1 aŭ 5 (mod 6) (kio signifas, ke 6 dividas p − 1 aŭ p − 5); tial 1 aŭ 5 finas. Tio ĉi estas pruvita per kontraŭdiro.

Por ajna integralo n:

• Se n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
• Se n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
• Se n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
• Se n ≡ 4 (mod 6), 2 | n

Cetere, pro tio ke la plej malgrandaj kvar primoj (2, 3, 5, 7) estas aŭ divizoroj aŭ najbaroj de 6, sesuma sistemo havas simplajn dividotestojn por multaj nombroj.

Cetere, ĉiuj paraj perfektaj nombroj krom 6 havas 44 kiel la finaj du ciferoj, esprimite en sesuma sistemo, kio estas pruvita de la fakto ke ĉiu para perfekta nombro estas de la formo $2^{p-1}(2^{p}-1)$, kie $2^{p}-1$ estas primo.

Sesuma sistemo ankaŭ estas la plej granda nombra bazo r kiu havas neniujn totativojn, krom 1 kaj r − 1, kio rezultas en tre regulan multplikan tabelon pro ties grandeco, minimumigante la kvanton de peno por parkerigi ĝin. Ĉi tiu eco maksimumigas la probablecon, ke la rezulto de integrala multipliko finiĝos je 0, ĉar neniuj ties faktoroj finiĝas tiel.

Multiplika tabelo

Ĝi havas sufiĉe kompaktan multiplikan tabelon kompare al ties de dekuma sistemo kaj konkuranta dekduuma sistemo, havanta eĉ pli grandan multiplikan tabelon ol la tradicia dekuma.

Dekuma multiplika tabelo × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Sesuma multiplika tabelo x 1 2 3 4 5 10 1 1 2 3 4 5 10 2 2 4 10 12 14 20 3 3 10 13 20 23 30 4 4 12 20 24 32 40 5 5 14 23 32 41 50 10 10 20 30 40 50 100

Dividotestoj

La nombro divideblas

• per 2, se finiĝas je 0, 2, 4.
• per 3, se finiĝas je 0, 3.
• per 4, se unu kriterio el du ĝustas
  • la antaŭlasta cifero estas para (0, 2, 4) kaj la lasta estas 0, 4
  • la antaŭlasta cifero estas nepara (1, 3) kaj la lasta estas 2.
• per 5, se la sumo de ĉiuj ciferoj divideblas per 5.
• per 6 (10 sesume), se finiĝas je 0.
• per 7 (11 sesume), se la diferenco de sumoj de nombroj situantaj pare divideblas per 7.

Frakcioj

Komparo de frakcioj inter nombrosistemoj

Frakcio	Dekuma sistemo	Frakcio	Dekduuma sistemo	Frakcio	Sesuma sistemo
1/2	0.5	1/2	0.6	1/2	0.3
1/3	0.3	1/3	0.4	1/3	0.2
1/4	0.25	1/4	0.3	1/4	0.13
1/5	0.2	1/5	0.2497	1/5	0.1
1/6	0.16	1/6	0.2	1/10	0.1
1/7	0.142857	1/7	0.186A35	1/11	0.05
1/8	0.125	1/8	0.16	1/12	0.043
1/9	0.1	1/9	0.14	1/13	0.04
1/10	0.1	1/A	0.12497	1/14	0.03
1/11	0.09	1/B	0.1	1/15	0.0313452421
1/12	0.083	1/10	0.1	1/20	0.03
1/13	0.076923	1/11	0.0B	1/21	0.024340531215
1/14	0.0714285	1/12	0.0A35186	1/22	0.023
1/15	0.06	1/13	0.09724	1/23	0.02
1/16	0.0625	1/14	0.09	1/24	0.0213
1/17	0.0588235294117647	1/15	0.08579214B36429A7	1/25	0.0204122453514331
1/18	0.05	1/16	0.08	1/30	0.02
1/19	0.052631578947368421	1/17	0.076B45	1/31	0.015211325
1/20	0.05	1/18	0.07249	1/32	0.014
1/21	0.047619	1/19	0.06A3518	1/33	0.014
1/22	0.045	1/1A	0.06	1/34	0.01345242103
1/23	0.0434782608695652173913	1/1B	0.06316948421	1/35	0.01322030441
1/24	0.0416	1/20	0.06	1/40	0.013
1/25	0.04	1/21	0.05915343A0B6	1/41	0.01235
1/26	0.0384615	1/22	0.056	1/42	0.0121502434053
1/27	0.037	1/23	0.054	1/43	0.012
1/28	0.03571428	1/24	0.05186A3	1/44	0.0114
1/29	0.0344827586206896551724137931	1/25	0.04B7	1/45	0.01124045443151
1/30	0.03	1/26	0.04972	1/50	0.01
1/31	0.032258064516129	1/27	0.0478AA093598166B74311B28623A55	1/51	0.010545
1/32	0.03125	1/28	0.046	1/52	0.01043
1/33	0.03	1/29	0.04	1/53	0.01031345242
1/34	0.02941176470588235	1/2A	0.0429A708579214B36	1/54	0.01020412245351433
1/35	0.0285714	1/2B	0.0414559B3931	1/55	0.01
1/36	0.027	1/30	0.04	1/100	0.01

Rimarkindas, ke dekduuma sistemo atingas pli bonajn rezultojn ĝis 1/12 pro havo da pli faktoroj, kio postulas tamen pli grandan multiplikan tabelon kaj ekuzon de novaj ciferoj krom kutimaj, tie ĉi reprezentataj per A kaj B (ankaŭ rekonitaj kiel ↊ kaj ↋ respektive). Samtempe sesuma sistemo montras tre proksimajn rezultojn kun malpli da ciferoj.

Gestoj

34_sesume = 22_dekume, en sesuma fingrokalkulado

Se la dekstra mano estas uzita por reprezenti unuojn kaj la maldekstra por reprezenti la "sesojn", tio ebligas por unu persono reprezenti la valorojn ekde nulo ĝis 55 (35 dekume) kun iliaj fingroj, prefere ol la kutima dek akirita en norma fingrokalkulo. Ekz. se tri fingroj estas etenditaj sur maldekstra mano kaj kvar sur dekstra, 34 sesume estas reprezentita. Tio ĉi estas ekvivalenta al 3 × 6 + 4, kiu estas 22 dekume.

Cetere, ĉi tiu metodo estas la malplej abstrakta vojo kalkuli uzante du manojn, kiu reflektas la koncepton de pozicia nombrosistemo, ĉar la movo disde unu pozicio al la sekva estas farita ŝanĝante unu manon al la alia. Dum la plej evoluiĝintaj kulturoj fingrokalkulas ĝis 5 en tre similaj vojoj, preter 5 ne-Okcidentaj kulturoj (Islama civilizo, Ĉina civilizo, Hinda civilizo) devojiĝas de Okcidentaj metodoj, kiel kun ĉinaj nombraj gestoj. Same sesuma fingrokalkulado ankaŭ devojiĝas nur preter 5. Ĉi tiu kalkulmetodo konkuras kun la simpleco de tradiciaj kalkulmetodoj, do oni povas havi malfacilaĵojn instruante pozician sistemon al junaj studentoj.

Kiu mano estas uzita por la 'sesoj' kaj kiu por la 'unuoj' estas laŭ prefero de la kalkulanto, tamen rigardante de ria perspektivo, uzi la maldekstran manon por la plej gravaj ciferoj kongruas kun la skriba reprezentado de la sama sesuma nombro. Ŝanĝante la 'sesan' manon al la mala por esti pli komprenebla por eksterrigardanto povas dubigi pri kiu mano reprezentas 'sesojn' kaj kiu 'unuojn'. Tio estas la malavantaĝo de sesuma fingrokalkulado, car partioj ne povas utiligi ĉi tiun sistemon sen antaŭa interkonsento pri manaj poziciaj rilatoj de 'sesoj' kaj 'unuoj', restante nekapablaj palpubrume diveni ilin, dum dekuma fingrokalkulado restas stabila, estante esence unuuma sistemo, kie alia partio simple kalkulas la nombron de etenditaj fingroj. Tio povis popularigi dekuman sistemon, sed ne signifas, ke ne ekzistas kulturoj ekuzintaj la sesuman sistemon.

En NCAA korbopilko, uniformaj nombroj de ludantoj estas resktriktitaj al duciferaj sesumaj nombroj, do juĝistoj povu sciigi, kiu ludanto deliktis per fingrokalkula sistemo.

Aliaj abstraktaj fingrokalkulaj sistemoj, kiel chisanbop aŭ duuma fingrokalkulado, permesas kalkuli al 99, 1,023 aŭ para pli alta dependanta sur la metodo (kvankam ne nepre sesume en naturo). la angla monaĥo kaj historiisto Bede, priskribita en la unua ĉapitro de lia laboro De temporum ratione, (725), titolis "Tractatus de computo, vel loquela por gestum digitorum," sistemo kiu permesis kalkuli ĝis 9,999 per du manoj.

Naturaj lingvoj

Malgraŭ la malofteco de kulturoj, kiuj grupigas grandajn kvantojn per 6, revizio de la evoluado de nombrosistemoj sugestas la ekziston de 6 (eble konceptigita kiel "tutaĵo", "pugno" aŭ "pretere kvin fingroj"), kun 1–6 ofte estantaj puraj formoj kun aliaj nombronomoj konstruiĝontaj aŭ depruntotaj.

La Ndom-lingvo de Indonezia Nov-Gvineo laŭdire havas sesumajn nombronomojn. "Mer" signifas 6, "mer an thef" signifas 6 × 2 = 12, "nif" signifas 36, kaj "nif thef" signifas 36 × 2 = 72.

Alia ekzemplo de Papuo-Nova-Gvineo estas la Yam lingvoj. En ĉi tiuj lingvoj, kalkulado estas konektita kun kulta yam-kalkulado. Ĉi tiu lingva kalkulmaniero de bazo ses, utiligas vortojn por la potencoj de ses; irante ĝis 66 en kelkaj lingvoj. Unu ekzemplo estas Komnzo kun la sekvantaj numeraloj: nibo (6¹), fta (6² [36]), taruba (6³ [216]), damno (6⁴ [1296]), wärämäkä (6⁵ [7776]), wi (6⁶ [46656]).

Proto-Urala lingvo ankaŭ estas suspektita havi sesumajn nombronomojn antaŭlonge, kun nombronomo por 7 pruntota poste, kvankam indico por konstruado de pli grandaj numeraloj (8 kaj 9) subtrahite de dek indikas, ke tio eble ne estas tiel.

Vidu ankaŭ

• Diceware metodo kodi bazon-6 valoroj en pronounceable pasvortoj.
• Base36 kodada plano
• ADFGVX ĉifro ĉifri tekston en serio de efike senary ciferoj

Eksteraj ligoj

• Dialektiko de bazo ses
• Sesuma konvertilo
• Retejo pri Sesumismo