Lineara sendependeco

En lineara algebro, familio de vektoroj el vektora spaco estas lineare sendependa, se neniu el ili povas esti skribata kiel lineara kombinaĵo de finie multaj aliaj vektoroj.

Ekzemple, en la tri-dimensia Eŭklida spaco R³, la tri vektoroj (1, 0, 0), (0, 1, 0) kaj (0, 0, 1) estas lineare sendependaj, dum (2, −1, 1), (1, 0, 1) kaj (3, −1, 2) ne estas tiaj. (La tria vektoro estas la sumo de la unuaj du.)

Vektoroj, kiuj ne estas lineare sendependaj, nomiĝas lineare dependaj.

Difino

Estu v₁, v₂, ..., v_n vektoroj. Ili nomiĝas lineare dependaj, se ekzistas nombroj a₁, a₂, ..., a_n, ne ĉiuj egalaj al nulo, tiel ke:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

(Noto: La nulo dekstre estas la nula vektoro, ne la nombro nulo.)

Se tiaj nombroj ne ekzistas, tiam la vektoroj nomiĝas lineare sendependaj.

Tiu ĉi kondiĉo povas esti reformulata kiel sekvas: Se a₁, a₂, ..., a_n estas nombroj tiaj ke

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,$

tiam a_m = 0 por m = 1, 2, ..., n.

Pli ĝenerale, estu V vektora spaco super korpo K, kaj estu {v_m}_m∈M familio de elementoj de V. La familio estas lineare dependa super K, se tie ekzistas familio {a_j}_j∈J de nenulaj eroj de K tia ke

$\sum _{j\in J}a_{j}\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} \,$

kie la indeksa aro J estas nemalplena, finia subaro de M.

Aro X de elementoj de V estas lineare sendependa, se la respektiva familio {x}_x∈X estas lineare sendependa.

---

La koncepto de lineara sendependeco estas grava, ĉar aro de vektoroj, kiuj estas lineare sendependaj kaj generas la vektoran spacon, formas bazon de la vektora spaco.

Vidu ankaŭ

• Lineara
• Vikipedio:Projekto matematiko/Lineara sendependeco

Eksteraj ligiloj

Ŝablono:EL Broŝuro "Fundamentoj de lineara algebro" (pdf-dosiero, 27 p.)