Faktorialo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Grafikaĵo de logaritmo de faktorialo kontraŭ logaritmo de la argumento
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101000
3249 6,41233768... × 1010000
25206 1,205703438... × 10100000
47176 8,4485731495... × 10200001
100000 2,8242294079... × 10456573

En la matematiko, faktorialo de natura nombro n estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al n. Oni signas ĝin per n!, kion oni prononcas no faktoriale.

Difino[redakti | redakti fonton]

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n = \prod_{k=1}^n k
n! = n \cdot (n-1)!
0! = 1! = 1\,

Oni aldone difinas 0!=1, ĉar ĝenerale la produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.

Kombinatoriko[redakti | redakti fonton]

En kombinatoriko, faktorialo n! estas kvanto de permutoj de n eroj. Ekzemple:

Por 1 ero {A} estas 1!=1 permuto:
A
Por 2 eroj {A,B} estas 2!=2 permutoj:
AB   BA
Por 3 eroj {A,B,C} estas 3!=6 permutoj:
ABC   ACB   BAC   BCA   CAB   CBA
Por 4 eroj {A,B,C,D} estas 4!=24 permutoj:
ABCD   BACD   CABD   DABC
ABDC   BADC   CADB   DACB
ACBD   BCAD   CBAD   DBAC
ACDB   BCDA   CBDA   DBCA
ADBC   BDAC   CDAB   DCAB
ADCB   BDCA   CDBA   DCBA

Γ-funkcio[redakti | redakti fonton]

Γ-funkcio estas funkcio, difinita por ĉiuj reelajkompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do

Γ(n+1) = n!

Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do

Γ(n) = (n-1)!

Proksimuma kalkulado de Stirling[redakti | redakti fonton]

Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:

n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3}+O\left(n^{-4}\right)\right),

kie O estas granda O.

Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling

n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

Tiam estas limigoj por la faktorialo.

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n < n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}

Duopa faktorialo[redakti | redakti fonton]

Duopa faktorialo estas:


  n!!=
  \begin{cases}
    1,&\mbox{ se }n=0\mbox{ aŭ }n=1;
   \\
    n\times(n-2)!! &\mbox{ se }n\ge2.\qquad\qquad
  \end{cases}

Tiel:

n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2 se n estas para pozitiva;
n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;

Noto ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale n!!≠(n!)!.

La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar

(n-2)!!=\frac{n!!}{n}

Tiel:

n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 ) se n estas nepara negativa.

Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio.

Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Valoroj de n!! por n=0, 1, 2, ... estas:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Valoroj de n!! por n=-1, -3, -5, ... estas:

1, -1, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{15}, \dots

Iuj formuloj kun duopa faktorialo:

n!=n!!(n-1)!!
(2n)!!=2^nn!
(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
(2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}
\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}
\Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}

kie Γ estas Γ funkcio. La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj n≠0.

Plurfaktorialo[redakti | redakti fonton]

Plurfaktorialo estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la k-a ordo de n, aŭ alivorte la k-a plurfaktorialo de n, estas


  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{se }0\le n<k;
   \\
    n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{se }n\ge k.\quad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right.

Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la 2-a ordo.

Primofaktorialo[redakti | redakti fonton]

Primofaktorialo n# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol n. Ekzemple:

11\# = 12\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310

Se pn estas la n-a primo, do pn# estas produto de n la unuaj primoj:

La unuaj valoroj de pn# por n=1, 2, 3, ... estas:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]