Primofaktorialo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
pn# kiel funkcio de n, grafike prezentita logarifme.
n# kiel funkcio de n (ruĝaj punktoj), komparare al n!. Ambaŭ grafikaĵoj estas logaritmaj.

En matematiko, primofaktorialo estas produto de la unuaj primoj.

La primofaktorialo havas du similajn sed malsamaj signifoj.

La nomo estas konstruita de vortoj primo kaj faktorialo.

n#[redakti | redakti fonton]

n# por n≥1 estas difinita kiel produto de ĉiuj primoj kiuj estas ne pli grandaj ol n.

La vico ankaŭ inkluzivas 1# = 1 kiel malplena produto.

La ekvivalenta rikura difino de ĝi estas


n\# =
\begin{cases}
 1 & n = 1 \\
 n \times ((n-1)\#) & n > 1 \And n \text{ estas primo } \\
 (n-1)\# & n > 1 \And n \text{ estas komponigita }
\end{cases}

La unuaj primofaktorialoj n# por n=1, 2, 3, ... estas:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Ĉiu ero de la vico por komponigita n estas la sama kiel la antaŭa ero.

Ekzemple, 7# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 7:

7# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

8# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 8:

8# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

kio egalas al 7#. Ankaŭ 9# kaj 10# havas la saman valoron, sed

11# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310

pn#[redakti | redakti fonton]

Se pn estas la n-a primo, do la primofaktorialo pn# estas produto de la unuaj n primoj:

p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k

La unuaj kelkaj primofaktorialoj pn# estas:

1, 2, 6, 30, 210, 2310

La vico ankaŭ inkluzivas p0# = 1 kiel malplena produto.

Ekzemple, p4# estas produto de la unuaj 4 primoj:

p4# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

kaj, p5# estas produto de la unuaj 5 primoj:

p4# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Estas idento

n\# = p_{\pi(n)}\#

kie, π(n) estas la primo-kalkulanta funkcio, donanta kvanton de primoj ne pli grandaj ol n.

Natura logaritmo de primofaktorialo log (n#) estas la unua funkcio de Ĉebiŝev, skribata kiel \theta(n)\thetasym(n), kiu proksimiĝas al lineara n por granda n. Tiel asimptote primofaktorialo n# kreskas kiel:

\log (n\#) \sim n

aŭ pli konkrete

\lim_{n \to \infty}\frac{\log (n\#)}{n}=1

Asimptote primofaktorialo pn# kreskas kiel:

p_n\# = \exp \left [ (1 + o(1)) \cdot n \log n \right ]

kie exp (x) = ex estas la eksponenta funkcio kaj "o" estas la malgranda o.

Ĉiu alte komponigita nombro estas produto de primofaktorialoj (ekzemple 360 = 2·6·30).

Ĉiu valoro de primofaktorialo kvadrato-libera entjero kaj havas pli multajn malsamajn primajn faktorojn ol ĉiu nombro pli malgranda ol ĝi. Por ĉiu valoro primofaktorialo n#, la frakcio φ(n#)/(n#) estas pli malgranda ol φ(x)/x por ĉiu entjero x, x<n#, kie φ estas la eŭlera φ funkcio.

Ĉiu plene multiplika funkcio estas difinita per ĝiaj valoroj je primofaktorialoj, pro tio ke ĝi estas difinita per ĝiaj valoroj je primoj, kiuj povas esti rekalkulitaj per divido de najbaraj valoroj je primofaktorialoj.

Primofaktorialoj raperas en la serĉoj de primoj en aritmetikaj vicoj. Ekzemple, 2236133941 + 23# estas primo komenca en vico de 13 primoj, trovataj per sinsekva adicio de 23#, kaj finiĝanta kun 5136341251. 23# estas ankaŭ la komuna diferenco en aritmetikaj vicoj de 15 kaj 16 primoj.

Tabelo de primofaktorialoj[redakti | redakti fonton]

n n# pn pn#
0 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

Eric W. Weisstein, Primofaktorialo en MathWorld. A034386 en OEIS n# A002110 en OEIS pn# A000720 en OEIS primo-kalkulanta funkcio π(n) Eric W. Weisstein, Funkcioj de Ĉebiŝev en MathWorld.