Integreca ringo

Integreca ringo aŭ integreca domajno estas komuta Ringo kun neŭtra elemento sen nuldivizoro, do $\forall a,b$ $ab=0\implies a=0$ aŭ $b=0$.

Envicigo

komutaj ringoj ⊃ integrecaj ringoj ⊃ integrece fermitaj ringoj ⊃ faktorecaj ringoj ⊃ ĉefidealaj ringoj ⊃ eŭklidaj ringoj ⊃ korpoj

Ekzemploj

Ekzemploj estas la entjeroj kaj la reelaj polinomoj. Ĉiu korpo estas integreca ringo. Aliaflanke ĉiu finia aro kun integrecringostrukturo estas korpo. Pruvo: Ĉiu $a\neq 0$ en integreca ringo ekzistigas disĵetan funkcion $A$, kiu sendas ĉiun $d$ en la integrecringo al $ad$. Ĉiu disĵeta funkcio kun finia fontaro estas inversigebla. Do $A$ estas inversigebla. Tiel $1$ estas bildo de iu $d$, kaj tiu elemento estas la inverso de $a$.

La plej supra hipotezo implikas ecojn, kiujn havas nur la integrecaj ringoj. Ekzemple, ĝi permesas aserti ke $ab=ac\implies a=0$ aŭ $b=c$, ĉar $a(b-c)=0\implies a=0$ aŭ $b-c=0$. Do tiu koncepto vidigas, ke la fakto, ke $ab=0\implies a=0$ aŭ $b=0$, estas unu el tiuj, kiuj plikomprenigas la entjerojn, reelajn polinomojn kaj aliajn.

La kongruecaj klasoj de entjeroj je $p$ estas integreca ringo se kaj nur se $p$ estas primo. Rimarku, ke, se $p$ estas primo, $p|ab\implies p|a$ aŭ $p|b$. Ĉiu kongrueca klaso je $p$ estas korpo.