Ora proporcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La ora proporcio (latine sectio aurea) estas rilato inter du nombroj, plej ofte distancoj, rigardata en la arto kaj arkitekturo kiel centra nocio pri estetiko kaj perfekta harmonio. Plue la ora proporcio aperadas ankaŭ en la naturo kaj havas interesajn matematikajn ecojn.

Ora sekco estas divido de difinita distanco je du partoj, per kiu la rilato de la malgranda parto al la granda estas la sama kiel la rilato de la granda al la tuto. Se la tuta longo estas a kaj la pli granda parto estas x, tiam la pli malgranda parto estas ax. La proporcio estas do (ax) : x = x : a.

La bazo de la ora proporcio estas la nombro fi (Φ, φ) :

\varphi = \frac{\varphi+1}{\varphi} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots

Kalkulado[redakti | redakti fonton]

Listo de nombrojNeracionalaj nombroj
ζ(3)√2√3√5φαeπδ
En duuma sistemo 1.1001111000110111011...
En dekuma sistemo 1.6180339887498948482...
En deksesuma sistemo 1.9E3779B97F4A7C15F39...
kiel senfina frakcio 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}
kiel senfina radiko \varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}
Algebra nombro \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Du kvantoj pozitivaj a kaj b estas en la ora proporcio \varphi, se

 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.

Ĉi tiu ekvacio definas senambigue la nombron  \varphi.\,

La ekvacio dekstra montras, ke a=b\varphi, kion ni substituu en la maldekstra parto:

\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,.

Oni povas elimini b-on, kio donas

\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi.

Multiplikante ambaŭ flankojn per \varphi kaj transŝovante terminojn, ni ricevas

\varphi^2 - \varphi - 1 = 0.

La nura pozitiva solvo de ĉi tiu kvadrata ekvacio estas

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]