Kardinalo de kontinuumo

En matematiko, la kardinalo de kontinuumo aŭ la kvantonombro de kontinuumo, estas la amplekso (kardinalo) de la aro de reelaj nombroj R (kiu aro estas iam nomata kiel la kontinuumo). La kardinalo de R estas skribata kiel |R| aŭ kiel c. Kiel kardinalo, c estas egala al beth-nombro beth-unu, $c=\beth _{1}$). Se la kontinuumo-hipotezo veras, tiam c estas ankaŭ egala al alef-nombro alef-unu, $c=\aleph _{1}$.

Nekalkulebleco

Kardinalo de la kontinuaĵo estas pli granda ol kardinalo de la aro de naturaj nombroj N, $|\mathbf {N} |=\aleph _{0}<c$, konkrete $c=2^{\aleph _{0}}$ kie $\aleph _{0}$ (alef-nulo) estas la kardinalo de N. En aliaj vortoj, kvankam R kaj N estas ambaŭ nefiniaj aroj, la reelaj nombroj estas iusence pli multaj ol la naturaj nombroj.

Georg Cantor pruvis ĉi tion en malsamaj manieroj - kiel la unua nekalkulebleca pruvo de Cantor kaj per la diagonala argumento de Cantor.

Egalaĵoj kun la kardinaloj

Estu {0, 2}^N la aro de nefiniaj vicoj kun valoroj el aro {0, 2}. Ĉi tiu aro klare havas kardinalon $2^{\aleph _{0}}$ (la natura reciproke unuvalora surĵeto inter la aro de duumaj vicoj kaj P(N) estas donita per la nadla funkcio). La asociaĵo al ĉiu tia vico (a_i) estas la unika reela nombro en la intervalo [0,1] kies triuma elvolvaĵo estas donita per la ciferoj (a_i), kio estas la i-a cifero post la dekuma punkto estas a_i. La bildo de ĉi tiu mapo estas nomata kiel la aro de Kantor. Ĉi tiu mapo estas enjekcia. Per evito de punktoj kun la cifero 1 en ilia triuma elvolvaĵo estas evitataj konfliktoj kreis per tio ke la triuma -elvolvaĵo de reela nombro estas ne unika. Tiel $2^{\aleph _{0}}\leq c$. Per la teoremo de Cantor-Bernstein-Schroeder

$c=|P(\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}$

Egaleco c^c = c povas esti montrita per la kardinala aritmetiko:

$c^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}=c$

Ĉi tiu argumento estas densigita versio de la alternado de du duumaj vicoj: estu 0,a₀a₁a₂... la duuma elvolvaĵo de reela x kaj estu 0,b₀b₁b₂... esti la duuma elvolvaĵo de reela y. Tiam z = 0,a₀b₀a₁b₁a₂b₂..., la alternado de la duumaj elvolvaĵoj, estas bone-difinita funkcio se x kaj y havas unikajn duumajn elvolvaĵojn. Nur kalkuleble multaj reelaj nombroj havas ne-unikajn duumajn elvolvaĵojn.

Per uzado de la reguloj de kardinala aritmetiko eblas montri ke

$c^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}=c^{n}=\aleph _{0}c=nc=c$

kie n estas ĉiu finia kardinalo, n≥2, kaj

$c^{c}=(2^{\aleph _{0}})^{c}=2^{c\times \aleph _{0}}=2^{c}$

kie 2^c estas la kardinalo de aro de ĉiuj subaroj de R, kaj 2^c>c.

Beth-nombroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Beth-nombro.

La vico de beth-nombroj estas difinita per $\beth _{0}=\aleph _{0}$ kaj $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$. Tiel $c=\beth _{1}$ kaj $2^{c}=\beth _{2}$.

La kontinuumo-hipotezo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kontinuumo-hipotezo.

La kontinuumo-hipotezo statas ke c estas ankaŭ la dua alef-nombro $\aleph _{1}$. En aliaj vortoj, la kontinuumo-hipotezo statas ke ne ekzistas aro A kies kardinalo kuŝas severe inter $\aleph _{0}$ kaj c.

Ĉi tiu frazo estas sciata al esti sendependa de la aksiomoj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. Tio estas, ambaŭ la hipotezo kaj ĝia nego estas konsekvencaj kun ĉi tiuj aksiomoj. Fakte, por ĉiu nenula natura nombro n, la egaleco $c=\aleph _{n}$ estas sendependa de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. La okazo n=1 estas la kontinuumo-hipotezo. La samo estas vera por plejparto de la aliaj okazoj, kvankam en iuj okazoj egaleco povas estas neebla pro la teoremo de König pri la fundoj de kunfinieco, ekzemple, $c\neq \aleph _{\omega }$. Konkrete, c povas esti $\aleph _{1}$ aŭ $\aleph _{\omega _{1}}$, kie $\omega _{1}$ estas la unua nekalkulebla orda numero. Tiel c povas esti postanta kardinalo aŭ limiga kardinalo, kaj krom ĉi tio c povas esti regula kardinalo aŭ singulara kardinalo.

Aroj kun kardinalo egala al kardinalo de kontinuumo

Multaj aroj uzataj en matematiko havan kardinalon egalan al c:

• Aro de ĉiuj reelaj nombroj R
• Ĉiu nedegenera fermita aŭ malfermita intervalo en R (kiel ekzemple la unuobla intervalo [0, 1])
• Aro de ĉiuj neracionalaj nombroj
• Aro de ĉiuj transcendaj nombroj
• Aro de ĉiuj kompleksaj nombroj C
• Aro de ĉiuj punktoj de (finidimensia) eŭklida spaco Rⁿ
• Aro de ĉiuj vicoj de entjeroj, kio estas ĉiuj funkcioj N→Z , ofte skribata kiel Z^N
• Aro de ĉiuj vicoj de reelaj nombroj, kio estas ĉiuj funkcioj N→R , ofte skribata kiel R^N
• Aro de ĉiuj kontinuaj funkcioj de R al R
• Aro de ĉiuj subaroj de la naturaj nombroj P(N)
• Aro de Kantor
• Eŭklida topologio sur Rⁿ, kio estas la aro de ĉiuj malfermitaj aroj en Rⁿ
• Borela σ-algebro sur R, kio estas la aro de ĉiuj borelaj aroj en R

Aroj kun kardinalo pli granda ol kardinalo de kontinuumo

Iuj aroj kun kardinalo $2^{c}=\beth _{2}$, kiu estas pli granda ol c:

• Aro R^R de ĉiuj funkcioj de R al R
• Aro P(R) de ĉiuj subaroj de R
• Aro 2^R de nadlaj funkcioj difinantaj subarojn de reelaj nombroj; ĝi estas izomorfia al P(R), la nadla funkcio elektas erojn kiujn ĉiu subaro inkluzivas
• Lebega σ-algebro de R, kio estas, la aro de ĉiuj lebege mezureblaj aroj en R

Eksteraj ligiloj

• Kardinalo de kontinuumo en PlanetMath.