Esenca specialaĵo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En kompleksa analitiko, esenca specialaĵo de funkcio estas "severa" specialaĵo proksime al kiu la funkcio eksponas ege konduto.

Formale, estu malfermita aro U de la kompleksa ebeno C, ero a de U, kaj holomorfa funkcio f difinita sur U-{a}. La punkto a estas esenca specialaĵo por f se ĝi estas specialaĵo kiu estas nek poluso nek forprenebla specialaĵo.

Ekzemple, la funkcio f(z) = exp(1/z) havas esencan specialaĵon je a=0.

La punkto a estas esenca specialaĵo se kaj nur se la limigo

\lim_{z\to a}f(z)

nek ekzistas kiel kompleksa nombro nek egalas al malfinio. Ĉi tio estas la okazo se kaj nur se unu aŭ ambaŭ el la sekvakj kondiĉoj veras:

  • La serio de Laurent de f je la punkto a havas malfinie multajn termojn de negativaj gradoj (la ĉefa parto estas malfinia sumo).
  • La funkcio f havas polusojn en ĉiu najbaraĵo de a, tiel la specialaĵo ne estas izolita.

La konduto de holomorfaj funkciaj proksime al esencaj specialaĵoj estas priskribita per la teoremo de Weierstrass-Casorati kaj per la konsiderinde pli forta granda teoremo de Picard. La lasta statas ke en ĉiu najbaraĵo de esenca specialaĵo a, la funkcio f prenas ĉiun kompleksan valoron, escepte eble unu, malfinie ofte.