Esenca specialaĵo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En kompleksa analitiko, esenca specialaĵo de funkcio estas "severa" specialaĵo proksime al kiu la funkcio eksponas ege konduto.

Formale, estu malfermita aro U de la kompleksa ebeno C, ero a de U, kaj holomorfa funkcio f difinita sur U-{a}. La punkto a estas esenca specialaĵo por f se ĝi estas specialaĵo kiu estas nek poluso nek forprenebla specialaĵo.

Ekzemple, la funkcio f(z) = exp(1/z) havas esencan specialaĵon je a=0.

La punkto a estas esenca specialaĵo se kaj nur se la limigo

nek ekzistas kiel kompleksa nombro nek egalas al malfinio. Ĉi tio estas la okazo se kaj nur se unu aŭ ambaŭ el la sekvakj kondiĉoj veras:

  • La serio de Laurent de f je la punkto a havas malfinie multajn termojn de negativaj gradoj (la ĉefa parto estas malfinia sumo).
  • La funkcio f havas polusojn en ĉiu najbaraĵo de a, tiel la specialaĵo ne estas izolita.

La konduto de holomorfaj funkciaj proksime al esencaj specialaĵoj estas priskribita per la teoremo de Weierstrass-Casorati kaj per la konsiderinde pli forta granda teoremo de Picard. La lasta statas ke en ĉiu najbaraĵo de esenca specialaĵo a, la funkcio f prenas ĉiun kompleksan valoron, escepte eble unu, malfinie ofte.