Poluso (kompleksa analitiko)

En kompleksa analitiko, poluso de holomorfa funkcio estas certa speco de simpla specialaĵo, kiu kondutas kiel la specialaĵo 1/zⁿ je z = 0. Poluso de la funkcio f(z) estas punkto z = a tia, ke f(z) aliras malfinion kiel z aliras a.

La absoluta valoro de la Γ funkcio. Ĉi tiu montras, ke funkcio iĝas malfinio je la polusoj (maldekstre). Dekstre, la Γ funkcio ne havas polusojn, ĝi nur pligrandiĝas rapide.

Formale, supozu ke U estas malfermita subaro de la kompleksa ebeno C, a estas ero de U kaj f : U − {a} → C estas holomorfa funkcio. Se ekzistas holomorfa funkcio g : U → C kaj natura nombro n tia, ke

$f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}$

por ĉiuj z en U − {a}, tiam a estas nomita poluso de f. Se n estas elektita tiel malgranda kiel ebla, tiam n estas nomita la obleco aŭ ordo de la poluso. Poluso de ordo 1 estas nomata kiel simpla poluso.

Ekvivalente, a estas poluso de ordo n≥ 0 por funkcio f se ekzistas malfermita najbaraĵo U de a tia, ke f : U - {a} → C estas holomorfa kaj la limigo

$\lim _{z\to a}(z-a)^{n}f(z)$

ekzistas kaj estas malsama de 0.

La punkto a estas poluso de ordo n de f se kaj nur se ĉiuj termo de elvolvaĵo de f kiel la serio de Laurent ĉirkaŭ a pli sube grado de -n estas nuloj kaj la termo de grado -n estas ne nulo.

Poluso de ordo 0 estas forprenebla specialaĵo. En ĉi tiu okazo la limigo lim_z→a f(z) ekzistas kiel kompleksa nombro. Se la ordo estas pli granda ol 0, tiam lim_z→a f(z) = ∞.

Se la unua derivaĵo de funkcio f havas simplan poluson je a, tiam a estas branĉa punkto de f. (la malo ne nepre estas vera).

Ne-forprenebla specialaĵo kiu estas ne poluso aŭ branĉa punkto estas esenca specialaĵo.

Holomorfa funkcio ĉiuj kies specialaĵoj estas polusoj estas meromorfa funkcio.

Vidu ankaŭ

• Nulo (kompleksa analitiko)
• Restaĵo (kompleksa analitiko)