Parta diferenciala ekvacio

En matematiko,parta diferenciala ekvacio (mallongigita kiel PDE) estas rilato inter matematika funkcio u de pluraj nedependaj variabloj x, y, z, t, ... kaj partaj derivaĵoj de u rilate al ĉi tiuj variabloj. La ekvacioj en partaj derivaĵojn uzatas en la matematika formulado de la fizikaj procezoj kaj aliaj sciencoj, kiuj kutime koncernas la spacon kaj la tempon. Tipaj problemoj inkludas la disvastiĝon de sono aŭ varmo, la elektrostatikon, la elektrodinamikon, la fluidodinamikon, la elastecon, la kvantuman mekanikon kaj multaj aliaj. Ili estas ankaŭ konataj kiel diferencialaj ekvacioj en partaj derivaĵoj (EPD). Studiis ilin d'Alembert kaj Joseph Fourier, matematikistoj de la napoleona epoko.

Enkonduko

Parta diferenciala ekvacio (PDE) estas funkcio $u(x_{1},...x_{n})\,$ skribata laŭ sekvanta formo:

$F(x_{1},\cdots x_{n},u,{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}u,\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}u,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}u,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}u,\cdots )=0\,$

$F\,$ estas lineara funkcio de $u\,$ kaj siaj derivaĵoj, tio estas:

$F(u+w)=F(u)+F(w)\,$

kaj

$F(ku)=k\cdot F(u)\,.$

Se $F\,$ estas lineara funkcio de $u\,$ kaj ankaŭ ĝiaj derivaĵoj, tial la PDE estas lineara. Komunaj ekzemploj de PDE estas la varma ekvacio, la onda ekvacio kaj la laplaca ekvacio.

Parta diferenciala ekvacio povas esti tre simpla:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,,$

kie u estas funkcio de x kaj y. Ĉi tiu rialto implicas, ke la valoroj de u(x, y) estas tute nedependaj de x. Tial la ĝenerala solvaĵo de ĉi tiu diferenciala ekvacio estas:

$u(x,y)=f(y),\,$

kie f estas ajna funkcio de y.

La ordinara diferenciala ekvacio (simila al la PDE, sed kun funkcio de unu variablo) analogie estas:

${\frac {du}{dx}}=0,\,$

kiu havas la sekvan solvon

$u(x)=c,\,$

kie c estas ajna valoro konstanto (nedependa de x).

Tiuj du ekzemploj ilustras, ke la ĝeneralaj solvaĵoj de ordinaraj diferencialaj ekvacioj (ODE) implicas ajnajn konstantojn, sed la solvoj de partaj diferencialaj ekvacioj (PDE) implicas ajnajn funkciojn. Solvaĵo de parta diferenciala ekvacio estas ĝenerale ne unika; alimaniere oni devos havigi pliajn limkondiĉojn, por difini la solvon unike. Ekzemple, en la simpla kazo supre, la funkcio $\scriptstyle f(y)\,$ povas esti determinita, se $\scriptstyle u\,$ estas specifita laŭ la linio $\scriptstyle {x=0}\,$.

Skribmaniero kaj ekzemploj

En partaj diferencialaj ekvacioj estas tre komune simboligi partajn derivaĵojn uzante sub-indeksoj (skribmaniero de tensoroj). Tio estas:

$u_{x}={\partial u \over \partial x}\ ,$ kaj

$u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right)\ .$

Aparte en fiziko, preferita la nabla operatoro (kiu, en kartezia koordinato, skribiĝas $\nabla =\mathbf {i} {\partial \over \partial x}+\mathbf {j} {\partial \over \partial y}+\mathbf {k} {\partial \over \partial z}$) por la spaca derivaĵo en iu punkto, kaj ${\dot {u}}\,,{\ddot {u}}\,$ por la derivaĵoj kiuj koncernas la tempon, ekzemple por skribi la ondan ekvacion tiele:

${\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u\,$ (fizika skribaĵo),

aŭ

${\ddot {u}}=c^{2}\Delta u\,$ (matematika skribaĵo),

kie $\Delta \,$ estas la laplaca operatoro.

Ĝenerala solvo kaj kompleta solvo

Ajna parta diferenciala ekvacio de unua ordo havas solvo dependan de ajna funkcio, kutime nomitan ĝenerala solvo de la PDE. En multaj fizikaj aplikoj ĉi tiu solvo estas ĝenerale malpli grava ol kompleta solvo, kiu povas ofte esti akirita per la metodo de apartigo de variabloj.

Kompleta solvo estas aparta solvaĵo de la PDE, kiu enhavas multajn nedependajn laŭvolajn konstantojn kiel nedependajn variablojn implicitajn en la ekvacio. Ekzemple, la integrado de la ekvacioj de moviĝo de mekaniĥa sistemo uzanta la metodon bazitan sur la Hamilton-Jakobia ekvacio (PDE kun la tempa variablo) postulas kompletan integralon, dum la ĝenerala solvo estas malpli interesa laŭ vidpunkto de fiziko.

Ekzisto kaj unikeco

Kvankam la temo de la ekzisto kaj unikeco de solvaĵoj de ordinaraj diferencialaj ekvacioj (ODE) estas tre kontentige resumita per la teoremo de Picard-Lindelöf, la sama kazo por partaj diferencialaj ekvacioj (PDE) estas for de esti kontentige solvita. Kvankam estas ĝenerala teoremo, la teoremo de Koŝio-Kovalevskaja, kiu asertas, ke, por PDE kiu estas analitika pri la nekonata funkcio kaj ties derivaĵoj havas unikan analitikan solvaĵon. Kvankam ĉi tiu rezulto ŝajnas establi ekziston kaj unikecon de solvaĵoj, estas ekzemploj de la unua ordo PDE, kies koeficientoj havas derivaĵojn de ajna ordo (kvankam sen esti analitikaj), kiuj tamen ne havas solvon. Eĉ se solvo ekzistas kaj PDE estas unika, ĝi povas havi nedezirindajn ecojn.

Ekzemplo estas la malnormala konduto de la vico de problemoj de Koŝio ( dependa de parametro n), kiu sekvas la laplacan ekvacion:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,~$

kun limkondiĉoj

$u(x,0)=0,~$

${\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},~$

kie n estas entjero. La derivaĵo de u rilatante al y konverĝas al 0 unuforme en x kiam n pliiĝas, sed la solvo estas:

$u(x,y)={\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.~$

Tiu solvo proksimiĝas al malfinio (pro propreco de hiperbola sinuso), se nx ne estas entjera oblo de π por iu ajn ne nula valoro de y. La problemo de Koŝio pri la laplaca ekvacio nomiĝas malsana aŭ malbone difinita, ĉar la solvo ne dependas kontinue de datumoj de la problemo. Ĉi tiuj "malsanaj" problemoj kutime ne kontentigas pri aplikoj en fiziko.

Klasifiko de PDE-j de dua ordo

Elipsa ekvacio solvas statikan problemon de varmo sur ringo kun limkondiĉoj de Dirichlet: u(r=2)=0 kaj u(r=4)=4.sin(5.θ).

Prabola ekvacio solvas problemon de variado de varmo post varmigo de plato (ambaŭ kolora kaj alto indikas temperaturon).

Hiperbola ekvacio solvas problemon de sferaj ondoj el punkta fonto.

La PDE_j de dua ordo kutime klasifikiiĝas laŭ kvar tipoj de PDE, kiuj estas de ĉefa intereso, jenaj estas ekzemploj de tiaj kvar tipoj:

Formulo	Ekvacio de	Tipo
$\nabla ^{2}u=0$	Laplace	Elipsa
${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u$	Ondo	Hiperbola
${\frac {\partial u}{\partial t}}=k\nabla ^{2}u$	varmo	Parabola
$\nabla ^{2}u=ku$	Helmholtz	Elípsa

Pli ĝenerale, kiam oni havas iun ekvacion de dua ordo kun du variabloj de la sekvanta tipo:

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad$

• ĝi estas dirita elípsa se la matrico $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ havas sian determinanton > 0,
• ĝi estas dirita parabola se la matrico $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ havas sian determinanton = 0,
• ĝi estas dirita hiperbola se la matrico $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ havas sian determinanton < 0,

kie la koeficientoj A, B, C, D, E dependas nur de x kaj y. Se $A^{2}+B^{2}+C^{2}>0$ en regiono de la X-Y ebeno, la PDE estas ia de dua ordo en tiu regiono. La kialo de la elektitaj terminoj originas pro tio, ke la formo de la ekvacio estas analoga je tia de la ekvacio de konikoj:

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\ .$

PDE-j de pli alta ordo

Oscilanta membrano kiel solvo de du-variabla ondekvacio de kvara ordo

Dum PDE-j de dua ordo aplikiĝas al grandega kvanto da fizikaj fenomenoj, alia pli malgranda kvanto da fizikaj procezoj havas solvojn en PDE-j de pli alta ordo, jenaj ekzemploj estas:

• Mekanika flekso de elasta plato aŭ folio:

${\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{2}}}={\frac {q(x,y)}{D}}\ ;$

• Fleksa vibrado de trabo:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[EI{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\right]+\rho A{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=p(x,t)\ ;$

• Ekvacio de Korteweg-de Vries, kiu havas solvojn de tipo solitono (sola ondo):

${\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{3}v}{\partial x^{3}}}=0\ .$

Vidu ankaŭ

• Diferenciala ekvacio
• Ekvacio de Helmholtz
• Ekvacio de Laplace
• Onda ekvacio
• Ekvacio de varmo
• Ekvacio de Schrödinger
• Parta derivaĵo
• Borela lemo

Eksteraj ligilioj

• Partial Differential Equations: Exact Solutions en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Index en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Methods en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example problems with solutions Arkivigite je 2017-07-01 per la retarkivo Wayback Machine en exampleproblems.com
• Partial Differential Equations en mathworld.wolfram.com