Fermito-malfermita aro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En topologio, fermito-malfermita aro en topologia spaco estas aro kiu estas ambaŭ malfermita aro kaj fermita aro.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Estu la spaco X kiu konsistas el la kunaĵo de la du intervaloj, [0,1] kaj [2,3]. La topologio sur X estas heredita kiel la subspaca topologio de la ordinara topologio sur la reela linio R. En X, la aro [0,1] estas fermito-malfermita, same la aro [2,3]. Ĉi tiu estas sufiĉe tipa ekzemplo: se spaco estas farita kiel kunaĵo el finia kvanto de disaj koneksaj spacoj kiel komponanto tiamaniere, la ĉiu el la komponantoj estas fermito-malfermita.

En ĉiu topologia spaco X, la malplena aro kaj la tuta spaco X estas fermito-malfermita.[1][2]

Kiel malpli bagatela ekzemplo, estu la spaco Q de ĉiuj racionalaj nombroj kun ilia ordinara topologio, kaj estu aro A de ĉiuj pozitivaj racionalaj nombroj kies kvadrato estas pli granda ol 2. Pro tio ke √2 estas ne en Q, A estas fermito-malfermita subaro de Q. Notu ke tamen A ne estas fermito-malfermita subaro de la reela linio R, ĝi estas nek malfermita nek fermita en R.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

  • Aro estas fermito-malfermita se kaj nur se ĝia rando estas malplena.
  • Ĉiu fermito-malfermita aro estas unio de (eble malfinie multaj) koneksaj komponantoj.
  • Se ĉiuj koneksaj komponantoj de topologia spaco X estas malfermitaj (ekzemple, se X havas nur finie multajn komponantojn, aŭ se X estas loke koneksa), tiam aro estas fermito-malfermita en X se kaj nur se ĝi estas unio de koneksaj komponantoj.
  • Topologia spaco X estas koneksa se kaj nur se la nuraj fermito-malfermitaj aroj en X estas la malplena aro kaj X.
  • Topologia spaco X estas diskreta se kaj nur se ĉiu el ĝiaj subaroj estas fermito-malfermita.
  • Uzanta la kunaĵon kaj komunaĵon kiel operacioj, la fermito-malfermitaj subaroj de donita topologia spaco X formas bulean algebron. Ĉiu Bulea algebro povas esti ricevita tiamaniere el taŭga topologia spaco, vidu en kerna prezenta teoremo por buleaj algebroj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]