Fermita-malfermita aro
En topologio, fermito-malfermita aro en topologia spaco estas aro kiu estas ambaŭ malfermita aro kaj fermita aro.
Ekzemploj
Estu la spaco X kiu konsistas el la kunaĵo de la du intervaloj, [0,1] kaj [2,3]. La topologio sur X estas heredita kiel la subspaca topologio de la ordinara topologio sur la reela linio R. En X, la aro [0,1] estas fermito-malfermita, same la aro [2,3]. Ĉi tiu estas sufiĉe tipa ekzemplo: se spaco estas farita kiel kunaĵo el finia kvanto de disaj koneksaj spacoj kiel komponanto tiamaniere, la ĉiu el la komponantoj estas fermito-malfermita.
En ĉiu topologia spaco X, la malplena aro kaj la tuta spaco X estas fermito-malfermita.[1][2]
Kiel malpli bagatela ekzemplo, estu la spaco Q de ĉiuj racionalaj nombroj kun ilia ordinara topologio, kaj estu aro A de ĉiuj pozitivaj racionalaj nombroj kies kvadrato estas pli granda ol 2. Pro tio ke √2 estas ne en Q, A estas fermito-malfermita subaro de Q. Notu ke tamen A ne estas fermito-malfermita subaro de la reela linio R, ĝi estas nek malfermita nek fermita en R.
Propraĵoj
- Aro estas fermito-malfermita se kaj nur se ĝia rando estas malplena.
- Ĉiu fermito-malfermita aro estas unio de (eble malfinie multaj) koneksaj komponantoj.
- Se ĉiuj koneksaj komponantoj de topologia spaco X estas malfermitaj (ekzemple, se X havas nur finie multajn komponantojn, aŭ se X estas loke koneksa), tiam aro estas fermito-malfermita en X se kaj nur se ĝi estas unio de koneksaj komponantoj.
- Topologia spaco X estas koneksa se kaj nur se la nuraj fermito-malfermitaj aroj en X estas la malplena aro kaj X.
- Topologia spaco X estas diskreta se kaj nur se ĉiu el ĝiaj subaroj estas fermito-malfermita.
- Uzanta la kunaĵon kaj komunaĵon kiel operacioj, la fermito-malfermitaj subaroj de donita topologia spaco X formas bulean algebron. Ĉiu Bulea algebro povas esti ricevita tiamaniere el taŭga topologia spaco, vidu en kerna prezenta teoremo por buleaj algebroj.
Vidu ankaŭ
Eksteraj ligiloj
greke Topologio sen ŝiraoj de Sidney A. Morrita