Funkcia komponaĵo

En matematiko, komponigita funkcio, formita kiel la komponaĵo de unu funkcio sur alia, prezentas la aplikon de la antaŭa al la rezulto de la apliko de la lasta al la argumento de la komponaĵo. La funkcioj f: X → Y kaj g: Y → Z povas esti komponitaj per unue aplikado f al argumento x kaj tiam aplikado g al la rezulto. Tial oni ricevas funkcion g o f: X → Z difinitan per (g o f)(x) = g(f(x)) por ĉiuj x en X. La notacio g o f estas legata kiel "g cirklo f" aŭ "g komponita kun f".

Kiel ekzemplo, supozu, ke alto de aviadilo je tempo t estas donita per la funkcio h(t) kaj, ke la denseco de oksigeno je alto x estas donita per la funkcio c(x). Tiam (c o h)(t)=c(h(t)) priskribas la densecon de oksigeno apud la aviadilo je tempo t.

En la mezo de la 20-a jarcento, iuj matematikistoj decidis, ke skribi "g o f" por signifi "unue apliki f, tiam apliki g" estis ankaŭ konfuza kaj decidis ŝanĝi notacion. Ili skribis kiel "xf" por "f(x)" kaj "xfg" por "g(f(x))". Tamen, tiu delokigo neniam populariĝis, kaj nuntempe tiu notacio estas trovata nur en malnovaj libroj.

La komponaĵo de funkcioj estas ĉiam asocieca. Tio estas, se f, g, kaj h estas tri funkcioj kun konvene elektitaj domajnoj kaj celo-aroj, tiam f o (g o h) = (f o g) o h. Ĉar estas nenia distingo inter la elektoj de lokigo de parantezoj, ili povas esti sekure forlasitaj.

Kiel rezulto la aro de reciproke unuvaloraj funkcioj f: X → X formas grupon kun respekto al la komponaĵa operatoro.

La funkcioj g kaj f komutiĝas unu kun la alia se g o f = f o g. Ĝenerale, komponaĵo de funkcioj estos ne estas komuteca. Komuteco estas speciala propraĵo, atingita nur per apartaj funkcioj, kaj ofte en specialaj kondiĉoj. Ekzemple, $({\sqrt {x}})^{2}={\sqrt {x^{2}}}$ nur kiam $x\geq 0$ ; por ĉiuj negativaj x, la unua esprimo estas nedefinita. Inversaj funkcioj ĉiam komutiĝas kaj produktas la idento-bildigon.

Derivaĵoj de komponaĵo de diferencialeblaj funkcioj povas troviĝi uzante la ĉenan regulon:

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)

aŭ

(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'

kie la punkto " · " prezentas la ordinaran multiplikon de nombroj, aŭ

{\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}

Pli altaj derivaĵoj de tiaj funkcioj estas donitaj per la formulo de Faà di Bruno.

Funkciaj potencoj

Se Y⊂X tiam f povas komponiĝi kun si; ĉi tio estas iam signifita kiel f ². Tial:

(f o f)(x) = f(f(x)) = f ²(x)

(f o f o f)(x) = f(f(f(x))) = f ³(x)

Ripetita komponaĵo de funkcio kun si estas iam nomata kiel funkcia ripeto.

La funkciaj potencoj f o f ⁿ = f ⁿ o f = f ⁿ⁺¹ por naturaj n sekvas senpere.

Laŭ konvencio, f ⁰ = id_D(f) (la identa surĵeto sur la domajno de f).

Se por f:X→X estas la inversa funkcio, negativaj funkciaj potencoj f ^-k (k > 0) estas difinitaj kiel la kontraŭaj potencoj de la inversa funkcio, (f ⁻¹)^k.

Noto: Se f prenas siajn valorojn en ringo (en aparta por reela aŭ komplekso-valora f ), estas risko de konfuzo, kiel f ⁿ povis ankaŭ stari por la n-a algebra potenco de valoro de f, ekzemple povas esti konsiderate kiel f ²(x) = (f (x))² = f(x) · f(x).

(Por kutimaj ciferecaj funkcioj, kutime la lasta estas intencita, almenaŭ por pozitivaj eksponentoj. Ekzemple ĉi tiu supra indeksa notacio ofte prezentas norman potencigon de trigonometriaj funkcioj: sin²(x) = sin(x) · sin(x). Tamen, por negativaj eksponentoj (aparte −1), ĝi tamen kutime signifas la inversan funkcion, do, tan⁻¹(x) = arctan(x) (sed ≠ 1/tan(x))).

En iuj okazoj, esprimo por f en g(x) = f ^r(x) povas esti derivita de la regulo por g donita ne-entjeraj valoroj de r. Tio estas nomata frakcia ripeto.

Ripetitaj funkcioj okazas nature en la studo de fraktaloj kaj dinamikaj sistemoj.

Komponaĵa operatoro

Por donita funkcio g, la komponaĵa operatoro $C_{g}$ estas difinita kiel tiu operatoro kiu mapas funkciojn al funkcioj kiel

C_{g}f=f\circ g

Komponaĵaj operatoroj estas studita en la kampo de operatora teorio.

Vidu ankaŭ