Kontraŭmemadjunkta matrico

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro, kontraŭ-memadjunkta matricodeklivo-memadjunkta matrico estas kvadrata matrico A konjugita transpono de kiu A* estas egala al ĝia negativo:

A* = - A

aŭ en komponanto formo, se A = (ai,j), ĉiu elemento estas egala al negativo de kompleksa konjugito de elemento en situo simetria respektive al la ĉefdiagonalo:

a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}}

por ĉiuj i kaj j.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Ekzemple, jena matrico estas kontraŭmemadjunkta:

\begin{pmatrix}i & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{pmatrix}

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

  • Ĉiuj ajgenoj de kontraŭmemadjunkta matrico estas pure imaginaraj. Kontraŭmemadjunkta matrico estas normala. De ĉi tie kontraŭmemadjunkta matrico estas diagonaligebla kaj ĝiaj ajgenvektoroj por malsamaj ajgenoj devas esti perpendikulara.
  • Ĉiuj elementoj sur ĉefdiagonalo de kontraŭmemadjunkta matrico estas pure imaginaraj.
  • Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam iA estas memadjunkta matrico.
  • Se A, B estas kontraŭmemadjunktaj, tiam aA + bB estas kontraŭmemadjunkta por ĉiuj reelaj nombroj a, b.
  • Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam A2k estas Hermita por ĉiuj pozitivaj entjeroj k.
  • Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam ĝia potenco An kun nepara n estas kontraŭmemadjunkta.
  • Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam ĝia eksponento eA estas unita matrico.
  • Por ĉiu kvadrata matrico C, la diferenco de ĝi kaj ĝia konjugita transpono C - C* estas kontraŭmemadjunkta.
  • Ĉiu kvadrata matrico C povas esti skribita kiel sumo de memadjunkta matrico A kaj kontraŭmemadjunkta matrico B:
C = A+B \quad\mbox{ kie }\quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad\mbox{ kaj }\quad B = \frac{1}{2}(C - C^*).

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]