Kontraŭsimetria matrico

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro, kontraŭsimetria matricodeklivo-simetria matricomalsimetria matrico estas kvadrata matrico A kies transpono egalas al ĝia negativo:

AT = -A

Tiel se la elementoj estas A=(aij), do aij=-aji por ĉiuj eblaj valoroj de i kaj j.

Ekzemple, jena matrico estas deklivo-simetria:

\begin{bmatrix}
0 & 3 & -5 \\
-3 & 0 & -2 \\
5 & 2 & 0\end{bmatrix}.

Kompari ĉi tiu kun simetria matrico kies transponi estas la sama kiel la matrico :AT = A.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Sumo de deklivo-simetriaj matricoj estas denove deklivo-simetria. Produtoj de deklivo-simetria matrico kun skalaro estas denove deklivo-simetria. Tiel, la deklivo-simetriaj matricoj formas vektoran spacon. Ĝia dimensio estas \tfrac{n\left(n-1\right)}{2}.

Se matrico A estas deklivo-simetria, kaj B estas ajna matrico, tiam produto BTAB estas deklivo-simetria.

La "deklivo-simetria komponanto" de kvadrata matrico A estas la matrico B=\tfrac{1}{2}\left(A-A^{T}\right); la "simetria komponanto" de A estas C=\tfrac{1}{2}\left(A+A^{T}\right); la matrico A estas sumo de ĝia simetria kaj deklivo-simetriaj komponantoj.

A estas deklivo-simetria se kaj nur se xTAx = 0 por ĉiuj reelaj vektoroj x.

Ĉiuj ĉefdiagonalaj elementoj de kontraŭsimetria matrico estas nuloj, Tiel la spuro estas nulo.

Determinanto[redakti | redakti fonton]

Estu A esti n×n kontraŭsimetria matrico. La determinanto de A estas

det(A) = det(AT) = det(-A) = (-1)n det(A).

Do se n estas nepara la determinanto estas nulo. Ĉi tiu rezulto estas jakobia teoremo.

En la para-dimensia okazo, la determinanto de A por povas esti skribita kiel kvadrato de polinomo de elementoj de A (teoremo de Thomas Muir):

det(A) = (Pf(A))2.

Ĉi tiu polinomo estas signifita kiel Pf(A). Tial la determinanto de reela kontraŭsimetria matrico estas ĉiam nenegativa.

Spektra teorio[redakti | redakti fonton]

La ajgenoj de kontraŭsimetria matrico ĉiam estas en paroj ±λ, escepti dn la nepara-dimensia okazo kiam estas aldona unuopa ajgeno 0. Por reela kontraŭsimetria matrico la ĉiuj nenulaj ajgenoj estas pure imaginaraj kaj tial estas de formo 1, -iλ1, iλ2, -iλ2, ..., kie ĉiuj λk estas reelaj.

Reela deklivo-simetria matrico estas normala matrico (ĝi komutiĝi kun sia adjunkta matrico) kaj tial laŭ la spektra teoremo reela kontraŭsimetria matrico povas esti diagonaligita per unita matrico. Pro tio ke ajgenoj de reela kontraŭsimetria matrico estas kompleksaj ĝin ne eblas diagonaligi per reela matrico. Tamen, ĉiun kontraŭsimetrian matrico eblas transformi al diagonala bloka matrico per orta matrico. Aparte, ĉiu 2n × 2n reela kontraŭsimetria matrico povas esti skribita en formo A=QΣQT kie Q estas orta kaj

\Sigma = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\
& & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix}
\end{bmatrix}

por reelaj λk. La ajgenoj de ĉi tiu matrico estas ±iλk. En la neparo-dimensia okazo Σ havas almenaŭ unu linion de nuloj kaj almenaŭ unu kolumnon de nuloj.

Alterna formo[redakti | redakti fonton]

Alterna formo de vektora spaco V estas dulineara funkcio φ(v, w) (v kaj w estas el V) tia ke

φ(v, w) = -φ(w, v)

Ĉi tia φ(v, w) estas prezentata per kontraŭsimetria matrico A:

φ(v, w) = vTAw.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]