Determinanto

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro, determinanto estas funkcio kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la skala faktoro por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo.

Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelajkompleksaj nombroj.

Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de {AA}^*.

Ĝenerala difino kaj kalkulado[redakti | redakti fonton]

Estu A = (A_{i,j}) \, kvadrata matrico.

Se A estas 1-per-1 matrico, tiam \det(A) = A_{1,1} .

Se A estas 2-per-2 matrico, tiam \det(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{2,1}A_{1,2} .

Por 3-per-3 matrico A, la formulo estas pli komplika:


\begin{matrix}
\det(A) & = & A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3} + A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2} + A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\
& & - A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1} - A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2} - A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}.
\end{matrix}\,

Por ĝenerala n-per-n matrico, la determinanto estis difinita per formulo de Leibniz:

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}

La sumo estas komputita super ĉiuj permutoj \sigma de nombroj {1,2,...,n} kaj \sgn(\sigma) estas signumo de la permuto \sigma: =+1 se \sigma estas para permuto kaj =−1 se ĝi estas nepara.

Ĉi tiu formulo enhavas n! \ (faktorialon) da termoj, kaj pro tio uzi ĝin por kalkuli determinantojn pri granda n \ maloportunas.

Determinanto povas esti komputita kun la gaŭsaj algoritmaj uzante jenajn regulojn:

  • Se A estas triangula matrico, kio estas A_{i,j} = 0 \, ĉiam i > j, tiam \det(A) = A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n}. \,
  • Se B rezultas de A per interŝanĝo de du linioj aŭ de du kolumnoj, tiam \det(B) = -\det(A). \,
  • Se B rezultas de A per multipliko de unu linio aŭ de unu kolumno kun la nombro c, tiam \det(B) = c\,\det(A). \,
  • Se B rezultas de A per adicio al linio de unu alia linio multiplikita per iu koeficiento, aŭ adicio al kolumno de unu alia kolumno multiplikita per iu koeficiento, tiam \det(B) = \det(A). \,

Uzante la lastajn tri regulojn eblas konverti ĉiun matricon en triangulan matricon, tiam eblas uzi la unua regulo por komputi ĝian determinanton.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

La determinanto estas multiplika mapo en la senco ke

\det(AB) = \det(A)\det(B) \, por ĉiuj n-per-n matricoj A kaj B.

Ĉi tiu estas ĝeneraligita per la Koŝio-Binet-a formulo al produktoj de ne-kvadrataj matricoj.

Estas facile vidi ke, se I_n \ estas la n\ -per-n\ identa matrico, \det(rI_n) = r^n \ \, kaj tial:

\det(rA) = \det(rI_n \cdot A) = r^n \det(A) \,, por ĉiuj n-per-n matricoj A kaj ĉiuj skalaroj r \ .

Matrico super komuta ringo R estas inversigebla, se kaj nur se ĝia determinanto estas unuo en R.

Aparte, se A estas matrico super kampo K, kiel la realaj nombrojkompleksaj nombroj, tiam A estas inversigebla se kaj nur se det_(A) estas ne-nulo. En ĉi tiu okazo, ni havas

\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1} \ . \,

Esprimita malsame: la vektoroj v1,...,vn en Rn formas bazon, se kaj nur se det(v1,...,vn) estas ne-nulo.

Matrico kaj ĝia transpono havas la saman determinanton:

\det(A^\top) = \det(A). \,

La determinanto de kompleksa matrico kaj de ĝia konjugita transpono estas konjugita:

\det(A^*) = \det(A)^*. \,

Notu ke konjugita transpono de matrico estas identa al la transpono pri reela matrico.

Se A kaj B estas similaj, tio estas, se tie ekzistas inversigebla matrico X , tia ke A = X^{-1} B X , tiam pro la multiplika propraĵo,

\det(A) = \det(B) \, .

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]