Matrico

El Vikipedio

Nuna versio (nereviziita)

Por samtitolaj artikoloj The Matrix (filmo), Matrico mineralogia.

Matrico - ortangula tabulo kun datumoj nomataj elementoj aŭ koeficientoj.

Difinita sur aro de matricoj algebra strukturo ebligas fari algebrajn operaciojn per matricoj. Plej ofte koeficientoj de matrico estas elementoj de ia Korpo aŭ Ringo, sed ĝenerale sufiĉas laŭvola abstrakta strukturo, de kiuj elementoj povas adicii kaj multipliki.

Matricoj estas uzata por ke priskribi sistemoj de linearaj ekvacioj.

Enhavo

1 Aroteoria difino
2 Notoj kaj referencoj de la artikolo
3 Vidu ankaŭ
- 3.1 Rilataj artikoloj
- 3.2 Eksteraj ligiloj kaj dokumentoj

[redakti] Aroteoria difino

Matrico $\mathbf A$ de tipo $m \times n$ , kaj $m, n \in \mathbb N$ nomas funkcion

$\mathbf A\colon \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} \to X$ ,

kiam $X$ estas laŭvola ne malplena aro. Fonto-aro $\{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\}$ estas kartezia multipliko de aroj $\{1, 2, \dots, m\}$ kaj $\{1, 2, \dots, n\}$ .

Pri matrico $\mathbf A$ oni diras, ke estas difinita sur aro $X\,$ .

Se R estas Ringo, (n,p)-Matrico super R estas ortangula skemo de n·p elementoj de R, skribebla

$R=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np} \end{bmatrix}$

Oni ankaŭ povas vidi matricon kiel bildigo de indeksita aro I×J al R (kie I = {1, ... p}, J = {1,...n} aŭ inverse), aŭ kiel p-opo de n-opo (aŭ inverse) de elementoj el R.

La aro de ĉiuj (n,p)-matricoj estas modulo super R (aŭ vektora spaco, se R estas Kampo.)

[redakti] Terminologio

Kolumnoj de matrico

Versoj de matrico

Unuopaj valoroj de funkcio nomiĝas elementoj de matrico.

Horizontalaj elementoj estas verso, kaj vertikalaj - kolumno' de matrico. Matrico kun Poziomy układ elementów znajdujących się w jednej linii nazywa się wierszem, a pionowy – kolumną macierzy. Macierz o $m$ versoj kaj $n$ kolumnoj nomiĝas $m \times n$ -matricon.

Elementoj de matrico identigas per orda duopo de nombroj, kiu nomiĝas montrilojn aŭ indeksojn. Unua nombro montras verson kaj dua kolumnon. Alivorte elemento kiu lokiĝas en kruciĝo de $i$ -a verso kaj $j$ -a kolumno estas $(i, j)$ elemento.

Se unu el dimensioj de matrico egalas unu ofte nomiĝas vektoro. Matrico de tipo $m \times 1$ (unu kolumno kaj $m$ versoj) nomiĝas kolumna vektoro, kaj matrico de tipo $1 \times n$ (unu verso kaj $n$ kolumnoj) nomiĝas versa vektoro.

[redakti] Ekzemploj

Matrico

$\mathbf A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

estas tipo $4 \times 3$ . Laŭ aroteoria difino tiu matrico estas funkcio $\mathbf A\colon \{1, 2, 3, 4\} \times \{1, 2, 3\} \to \mathbb R$

Elemento je indeksoj 2, 3 estas $7\,$ alivorte $\mathbf A((2, 3)) = 7$ . Tria verso havas elementojn $\mathbf 4,9,2$ .

Matrico

$\mathbf R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

estas $1 \times 9$ -matrico aŭ 9-elementa versa vektoro.

[redakti] Simboloj por matricoj

Estas diversaj skribmanieroj por matricoj - kutime oni uzas rondajn krampojn ^[1] aŭ kvadrata, malofte ^[2] skribmaniero en du vertikalaj strekoj ekz.:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{Vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{Vmatrix}.$

Matricoj preskaŭ ĉiam estas skribata per granda litero ekz.: $\mathbf A$ . Por indiki tipo de matrico uzas signojn sub simbolo de matrico, ekz.: $\underset{m \times n}{\mathbf A}$ .

Por indiki elementoj de matrico oni uzas sama litero kiel por matrico sed nur malgranda kun du subaj indeksoj ^[3] ekz.: $(i, j)\,$ -elemento de matrico $\mathbf A$ oni skribas kutime kiel $a_{i,j}\,$ , foje ankaŭ $\mathbf A[i,j]$ aŭ $\mathbf A_{i,j}$

Por indiki verso aŭ kolumno de matrico $\mathbf A$ uzas $\mathbf A_i$ (kun indiko ĉu temas pri verso ĉu kolumno).

Multaj aŭtoroj por signi matricojn uzas specialan stilo de tipografo, plej ofte dika (ne kursiva) por ke distingi ilin disde ceteraj variabloj. Laŭ ĉi tiu $\mathbf A$ estas matrico kaj $A$ estas skalaro.

Por difini matrico de tipo $m \times n$ , ofte oni skribas $\mathbf A := (a_{i,j})_{i = 1, \dots, m;\; j=1, \dots, n}$ lub $\mathbf A := (a_{i,j})_{m \times n}$ . Laŭ tiu indeksoj $a_{i,j}\,$ estas difinata sendepende por ĉiuj entjeroj $1 \leqslant i \leqslant m$ kaj $1 \leqslant j \leqslant m$ ^[4].

Aro de ĉiuj $m \times n$ -matricoj super aro $X\,$ oni skribas per simbolo $X^{m \times n}$ , $X_m^n$ aŭ $M_{m,n}(X)\,$ .

[redakti] Notoj kaj referencoj de la artikolo

↑ laŭ A. Cayley A Memoir on the Theory of Matrices (1855) PDF-dosiero
↑ laŭ A. Cayley Mémoire sur les Hyperdéterminants, Crelle Journal 30 (1846) PDF-dosiero
↑ foje kun du supraj indeksoj aŭ unua supra kaj du suba indekso
↑ En kelkaj programlingvoj numerado de versoj kaj kolumnoj komencas ekde nulo. Ene artikoloj enhavantaj tian lingvon tiu maniero estas kopiata, kaj tiam $0 \leqslant i \leqslant m-1$ kaj $0 \leqslant j \leqslant n-1$