Sistemo de linearaj ekvacioj

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Sistemo de linearaj ekvacioj estas sistemo de ekvacioj, en kiu estas laŭvola nombro de linearaj ekvacioj kaj samtempe ne estas nelinearaj ekvacioj.

Se estas m ekvacioj, en kiujn estas n variantoj, tiam oni povas prezenti en formo:

\begin{cases}\begin{matrix}
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&a_{13}x_3&+&\dots&+&a_{1n}x_n& = b_1\\
a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&a_{23}x_3&+&\dots&+&a_{2n}x_n& = b_2\\
a_{31}x_1&+&a_{32}x_2&+&a_{33}x_3&+&\dots&+&a_{3n}x_n& = b_3\\
\vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\
a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&a_{m3}x_3&+&\dots&+&a_{mn}x_n& = b_m
\end{matrix}\end{cases}

Skalaroj a_{ij} nomas koeficienton de sistemo , skalaroj b_i nomas liberajn elementojn. Solvo de sistemo de ekvacioj nomas laŭvolan n-elementojn (r_1, r_2, \dots, r_n) de korpoK, kiuj substituanta x_i donas verajn ekvaciojn.

Ĉefa matrico de sistemo[redakti | redakti fonton]

Ĉefa matrico estas matrico, kiujn elementojn estas koeficiento de sistemo

A=\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\
\end{bmatrix}.

Dilata matrico de sistemo[redakti | redakti fonton]

Dilata matrico estas ĉefa matrico, kiu estas dilatata pri vertikala vektoro (b_1, b_2, \dots, b_m):

U=\left[\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\\\vdots\\b_m\end{matrix}\right]=[A|B]


Priskribo de matricoj de sistemo de linearaj ekvacioj[redakti | redakti fonton]

Ĉar koeficientoj de sistemoj de ekvacioj facile skribas per matricoj, tial oni uzas atributojn de matrica multipliko oni povas skribi sistemon de ekvacioj kiel:

AX = B

kie:

A - ĉefa matrico,
X - (vertikala) vektoro de variantoj x_i,
B -(vertikala) vektoro de liberaj elementoj b_i.

do, oni povus solvi sistemo de linearaj ekvacioj, kiel:

X={B \over A}

se oni ekzistus divido de matricoj. Tamen oni scias ke divido de du elementoj de grupo estas multipliko de unue elemento kaj inverso de dua elemento, oni povas skribi:

X = A^{-1}B

(Rimarku!, ke X = BA^{-1} ne estas korekta , ĉar multpliko de matricoj ne estas komuteca. )

Tipoj de sistemoj de linearaj ekvacioj[redakti | redakti fonton]

Sistemo de Kramero[redakti | redakti fonton]

Sistemo de Kramero estas sistemo n de linearaj ekvacioj (kun n variantoj), kiuj havas sekvan atributon:

\det A \not = 0

Sistemo de Kramero havas nur strikte unu solvon, kiu estas difinata per formuloj de Kramero.

Homogena sistemo[redakti | redakti fonton]

Sistemo de ekvacioj estas homogena se ĉiuj liberaj elementoj de sistemo estas nuloj. Ekzemplo de homogena sistemo:

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = 0 \,
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = 0 \,
\vdots \,
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = 0 \,

Atributoj de homogena sistemo:

Kvadrata sistemo[redakti | redakti fonton]

Se n = m (nombro de variantoj egalas nombro de ekvacioj), tiam sistemo nomas kvadratan sistemon.

Se determinanto de ĉefa matrico ne estas nulo, tiam oni povas uzi formuloj de Kramero por solvi.

Se determinanto de ĉefa matrico estas nulo, tiam sistemo ne havas solvon aŭ havas infinite multe solvojn.

Signifas per A_i matricojn, kiel sube:

A_i=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots  & a_{1\ i-1} & b_{1}  & a_{1\ i+1} & \dots  & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots  & a_{2\ i-1} & b_{2}  & a_{2\ i+1} & \dots  & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots     & \vdots & \vdots     & \ddots & \vdots  \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots  & a_{n\ i-1} & b_{n}  & a_{n\ i+1} & \dots  & a_{nn}
\end{bmatrix}
  • Se determinanto de ĉiuj matricoj A_i estas nulo (kaj  \det A = 0), tiam sistemo havas infinite multe solvojn.
  • Se almenaŭ unu el matricojA_i havas determinanton nenula, tiam sistemo ne havas solvojn.

Ortangula sistemo[redakti | redakti fonton]

Laŭvola sistemo:

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \,
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \,
\vdots \,
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \,

nomas ortagulan sistemon, kiam m \not = n .

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

x + 3y = 2 \atop -2x + -6y = -4 \begin{cases}\begin{matrix}
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&a_{13}x_3&+&\dots&+&a_{1n}x_n& = b_1\\
a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&a_{23}x_3&+&\dots&+&a_{2n}x_n& = b_2\\
a_{31}x_1&+&a_{32}x_2&+&a_{33}x_3&+&\dots&+&a_{3n}x_n& = b_3\\
\vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\
a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&a_{m3}x_3&+&\dots&+&a_{mn}x_n& = b_m
\end{matrix}\end{cases}

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]