Kvadrata radiko de 2

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
La hipotenuzo de izocela orta triangulo de latero 1 estas √2

La kvadrata radiko de 2, notata \sqrt {2} , √2 aŭ 21/2 estas la ununura pozitiva reela nombro, kiu, multiplikita per ĝi mem, donas 2, tie estas: √2 × √2 = 2.

Estas neracionala nombro kies proksimuma valoro estas: \sqrt {2} = 1,414 213 562 373 095 ...

La kalkulado de proksimuma valoro de √2 estis problemo dum jarcentoj, tiuj esploroj permesis plibonigi algoritmojn de kalkulo de kvadrataj radikoj, por plirapidigi kalkulojn kaj, en komputado, neprigi malplej da memoro.

La longo √2 povas esti geometrie konstruata per multaj rimedoj, ekzemple; la hipotenuzo de izocela orta triangulo de latero 1 estas √2.

\sqrt {2} estis verŝajne la unua konata neracionala nombro. Oni atribuas ĝian malkovron, kaj la demonstron de ĝia neracionaleco, al la skolo de Pitagoro.

Unuaj ciferoj[redakti | redakti fonton]

Unuaj 500 ciferoj: \sqrt {2} = 1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 07324 78462 10703 88503 87534 32764 15727 35013 84623 09122 97024 92483 60558 50737 21264 41214 97099 93583 14132 22665 92750 55927 55799 95050 11527 82060 57147 01095 59971 60597 02745 34596 86201 47285 17418 64088 91986 09552 32923 04843 08714 32145 08397 62603 62799 52514 07989 68725 33965 46331 80882 96406 20615 25835 23950 54745 75028 77599 61729 83557 52203 37531 85701 13543 74603 40849 88471 60386 89997 06990 04815 03054 40277 90316 45424 78230 68492 93691 86215 80578 46311 15966 68713 01301 56185 68987 23723 ...

Pruvo pri neracionaleco[redakti | redakti fonton]

Oni povas pruvi "per disputo" la neracionalecon de √2.

Ni supozu, ke \sqrt {2} estus racionala, kaj skribu ĝin kiel nereduktebla frakcio[1].

\sqrt {2} = \frac{m}{n} , en kiu m kaj n estas entjeroj kaj interprimoj.

Se ni kvadratigas la formulon, ni havas:

2 = \frac{m^2}{n^2}, aŭ   m2 = 2 × n2

m2 estas para, do m estas ankaŭ para[2], ni skribu:

m = 2 × k

kiu kuntrenas:

m2 = 4 × k2

do:

4 × k2 = 2 × n2

Ni dividu ambaŭ flankoj per 2:

2 × k2 = n2

Tio, kiu montras, ke n2 estas para, do n estas para.

Sed ni vidis, ke m estis para; se ankaŭ n estas para, tio kontraŭdiras la hipotezon, laŭ kiu ni povus skribis √2 kiel neredukteblan frakcion.

La formulo \sqrt {2} = \frac{m}{n} estas neebla, aŭ : oni ne povas esprimi √2 kiel kvociento de du entjeroj ∎.

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  1. Se la frakcio estas reduktebla, oni ĉiam povas redukti ĝin.
  2. La produto de du paraj nombroj estas para, la produto de du neparaj nombroj estas nepara.


Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]