Divido

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, aparte en elementa aritmetiko, divido estas aritmetika operacio kiu estas la inverso de multipliko.

Specife, se c \times b = a kie b estas ne nulo, tiam

\frac ab = c

kio estas, a dividita per b egalas al c.

Ekzemple, \frac 63 = 2 ĉar 2 \times 3 = 6\,.

En la pli supre esprimo, a estas nomita la dividatonumeratoro, b la dividantodenominatoro kaj c la kvociento.

Divido per nulo (do kiam la dividanto estas nulo) estas kutime ne difinita.

Skribmaniero[redakti | redakti fonton]

Divido estas plej ofte montrita per skribado de la dividato super la dividanto kun horizontalo inter ili. Ekzemple, a dividita per b estas skribata kiel \frac ab.

Maniero esprimi dividon tute sur unu linio estas skribi la dividaton, tiam oblikvon, tiam la dividanton, tiamaniere: a/b\,. Ĉi tio estas la kutima maniero precizigi dividon en plej multaj komputilaj programadaj lingvoj ĉar ĝi povas facile esti tajpita kiel simpla vico de signoj.

Presa variado kiu estas meze inter ĉi tiuj du formoj uzas oblikvon sed altigas la dividaton, kaj malaltigas la dividanton: ab

Iu ajn el tiuj formoj povas ordinare elmontri frakcion. Frakcio estas divida esprimo kie kaj dividato kaj dividanto estas entjeroj (kvankam tipe nomitaj la numeratoro kaj denominatoro respektive), kaj ne estas implico, ke la divido bezonas esti plue pritaksita.

Aliaj manieroj montri dividon estas uzi la obeluson (aŭ dividan signon) jene: a \div b aŭ uzi dupunkton jene: a : b. La obeluso estas ankaŭ uzata sola por prezenti la dividan operacion mem, kiel ekzemple kiel marko sur klavo de kalkulilo.

Komputado de divido[redakti | redakti fonton]

Kun scio de multiplikaj tabuloj, du entjeroj povas esti dividataj sur papero uzante la metodon de skriba divido. Se la dividato havas frakcian parton (esprimita kiel dekuma frakcio), oni povas daŭrigi la algoritmon pasante la lokon de unuoj tiel malproksimen kiel dezirite. Se la dividanto havas frakcian parton, oni povas reformuli la problemon per movado de la dekuma signo dekstren en ambaŭ nombroj ĝis la dividanto ĉesas havi frakcion.

En modula aritmetiko, iuj nombroj havas inverson kun respekto al la modulo. En tia kazo, divido povas esti kalkulata per multipliko. Ĉi tiu maniero estas utila en komputiloj, kiuj ne havas rapidan dividan komandon.

Divido de entjeroj[redakti | redakti fonton]

Divido de entjeroj ne estas fermita. Krom tio ke divido per nulo estas nedefinata, la kvociento ne estos entjero, se ne la dividato estas entjera oblo de la dividanto; ekzemple 26 ne povas esti dividata per 10 kun entjero kiel rezulto. En tia kazo estas kvar eblaj elturniĝoj.

  1. Diri, ke 26 ne povas esti dividata per 10.
  2. Doni la respondon kiel dekuman frakcion aŭ miksitan nombron, do \frac{26}{10} = 2.626/10 = 2 \frac 35. Ĉi tiu estas la aliro kutime prenita en matematiko.
  3. Doni la respondon kiel kvociento kaj resto, do \frac{26}{10} = 2 resto 6.
  4. Doni la kvocienton kiel la respondon, do \frac{26}{10} = 2. Ĉi tiu estas iam nomita entjera divido.

Oni devas singardi kiam oni plenumas dividon de entjeroj en komputila programo. Iuj programlingvoj, kiel C, traktas dividon de entjeroj kiel en la kazo 4 pli supre, do la respondo estos entjero. Aliaj lingvoj, kiel MATLAB, unue konvertas la entjerojn al reelaj nombroj, kaj tiam donas reelan nombron kiel la respondo, kiel en la kazo 2 pli supre. Tiakaze la respondo facile povas enteni tre malgrandan forpurigendan erareton.

Divido de racionalaj nombroj[redakti | redakti fonton]

La rezulto de dividado de du racionalaj nombroj estas alia racionala nombro kiam la dividanto estas ne 0. Ni povas difini dividon de du racionalaj nombroj p/q kaj r/s per

{p/q \over r/s} = (p \times s)/(q \times r).

Ĉiuj kvar kvantoj estas entjeroj, kaj nur p povas esti 0. Ĉi tiu difino certigas, ke divido estas la inversa operacio de multipliko.

Divido de reelaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Divido de du reelaj nombroj rezultas en alia reela nombro kiam la dividanto estas ne 0. Ĝi estas difinata jene: a/b = c se kaj nur se a = cb kaj b ≠ 0.

Divido de kompleksaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Dividado de du kompleksaj nombroj rezultas en alia kompleksa nombro kiam la dividanto estas ne 0, difinata jene:

{p + iq \over r + is} = {pr + qs \over r^2 + s^2} + i{qr - ps \over r^2 + s^2}.

Ĉiuj kvar kvantoj estas reelaj nombroj. r kaj s ne povas ambaŭ esti 0.

Divido por kompleksaj nombroj esprimita en trigonometria prezento estas pli simpla kaj pli simple memorebla ol la difino ĉi-supre:

{pe^{iq} \over re^{is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}.

Denove ĉiuj kvar kvantoj estas reelaj nombroj, kaj r ne povas esti 0.

Divido de polinomoj[redakti | redakti fonton]

Oni povas difini la dividan operacion por polinomoj. Tiam, kiel ĉe entjeroj, oni havas restaĵon. Vidu en polinoma divido.

Divido en abstrakta algebro[redakti | redakti fonton]

En abstraktaj algebroj kiel matricaj algebroj kaj kvaternionaj algebroj, frakcioj kiel {a \over b} estas tipe difinitaj kiel a \cdot {1 \over b}a \cdot b^{-1} kie b estas devas esti inversigebla elemento (do ekzistas inverso b^{-1} tia, ke bb^{-1} = b^{-1}b = 1 kie 1 estas la multiplika idento).

Divido kaj infinitezima kalkulo[redakti | redakti fonton]

La derivaĵo de la kvociento de du funkcioj estas kalkulebla per la kvocienta regulo:

{\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Ne estas ĝenerala maniero integrali la kvocienton de du funkcioj.

Notacioj por divido[redakti | redakti fonton]

  • En Usono, Unuiĝinta Reĝlando ktp (divido de 63.59 per 17, kiu estas 3.74 kun resto de 1.)
        3.74
    17)63.59
       51
       12 5
       11 9
          69
          68
           1
  • En Francio (same)
6 3 , 5 9 17
1 2 , 5 3,74
6 9  
1  

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]