Matricoj de Pauli

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La matricoj de Pauli estas tri 2×2 kompleksaj matricoj ofte uzitaj en matematiko kaj fiziko. La matricoj estas memadjunktaj kaj unitaj; ili formas bazon de la vektora spaco de nulspuraj memadjunkta matricoj. Ilia simbolo estas la greka litero sigmo: \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 (sed kelka aŭtoroj uzas taŭon anstataŭe). Iliaj difinoj estas jene:


\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}

La matricoj estas nomitaj pro Wolfgang Pauli, kiu ilin enkondukis en 1925 pro studio de kvantuma mekaniko.

Iafoje oni uzis la "nulan" matricon de Pauli \sigma_0=I (t.e. la 2×2 identan matricon) kune kun la normalaj tri matricoj de Pauli. Tiam, la kvar matricoj formas bazon de la vektora spaco de tutaj memadjunktaj matricoj (inkludante nenulspurajn matricojn).

Karakterizaĵoj[redakti | redakti fonton]

Ili kvadratiĝas al identa matrico:

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I.

Ili estas nulspuraj kaj havas determinanton -1:

\operatorname{tr}\sigma_i=0.
\det\sigma_i=-1

Iliaj du ajgenoj estas ±1. Iliaj ajgenvektoroj estas jene:


\begin{array}{lclc}
\psi_{x+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}, & \psi_{x-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}, \\
\psi_{y+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}, & \psi_{y-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}, \\
\psi_{z+}=                                          & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}, & \psi_{z-}=                                          & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}.
\end{array}

Iliaj komutkrampoj estas jene:

[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \epsilon_{a b c}\sigma_c
\{\sigma_a, \sigma_b\} = 2 \delta_{a b} \cdot I.

(Jena \varepsilon_{abc} estas la simbolo de Levi-Civita.) Iliaj produtoj estas jene:

\sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} \cdot I + i \sum_c \epsilon_{abc}\sigma_c.

Vektoro de Pauli[redakti | redakti fonton]

Iafoje oni uzas la vektoron de Pauli, kiu estas vektoro kun tri matricaj komponantoj.

\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z}.

Oni uzas ĝin konverti inter 3-dimensiaj vektoroj kaj 2×2 nulspuraj memadjunktaj matricoj jene:


\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{\sigma} &= (a_i \hat{x}_i) \cdot (\sigma_j \hat{x}_j ) \\
&= a_i \sigma_j \hat{x}_i \cdot \hat{x}_j \\
&= a_i \sigma_i.
\end{align}

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • Liboff, Richard L.. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5. 
  • Schiff, Leonard I.. (1968). Quantum Mechanics. McGraw-Hill. ISBN 007-Y85643-5. 
  • Leonhardt, Ulf. (2010). Essential Quantum Optics. Cambridge University Press. ISBN 0-5211-4505-8.