Normo (matematiko)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro, funkcionala analitiko kaj rilatantaj areoj de matematiko, normo estas funkcio kiu asignas pozitivan longonamplekson al ĉiu vektoroj en vektora spaco, escepte la nula vektoro. Duonnormo estas simila funkcio, al kiu estas permesite asigni nulan longon al ne nulaj vektoroj.

Simpla ekzemplo estas la 2-dimensia eŭklida ebeno R2 kun la eŭklida normo. Eroj en ĉi tiu vektora spaco estas kutime desegnitaj kiel sagoj en kartezia ebeno startantaj je la fonto (0,0). La eŭklida normo asignas al ĉiu vektoro la longon de ĝia sago.

Vektora spaco kun normo estas normigita vektora spaco. Simile, vektora spaco kun duonnormo estas duonnormita vektora spaco.

Difino[redakti | redakti fonton]

Por donita vektora spaco V super subkorpo F de la kompleksaj nombroj kiel la kompleksaj nombroj mem aŭ la reela nombroj, duonnormo sur V estas funkcio p:VR; xp(x) kun jenaj propraĵoj:

Por ĉiuj a en F kaj ĉiuj u kaj v en V,

  1. p(v) ≥ 0 (pozitiveco)
  2. p(a v) = |a| p(v), (pozitiva homogenecopozitiva skaligeco)
  3. p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (triangula neegalaĵosubadicieco).

Normo estas duonnormo kun la aldona propraĵo

p(v) = 0 se kaj nur se v estas la nula vektoro (pozitiva difiniteco)

Topologia vektora spaco estas normebla (duonnormebla) se la topologio de la spaco povas esti konkludita per normo (duonnormo).

Notoj[redakti | redakti fonton]

Duonnormoj estas ofte skribataj kiel p(v) (funkcia skribmaniero), normoj estas tradicie skribataj kiel ||v|| (kiel varianto de skribmaniero de la absoluta valoro).

Utila konsekvenco de la normaj aksiomoj estas la neegalaĵo

||u ± v|| ≥ | ||u|| − ||v|| |

por ĉiuj u kaj vK.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Unuoblaj cirkloj en malsamaj normoj
  • La bagatela duonnormo, p(x) = 0 por ĉiuj x en V.
  • La absoluta valoro estas normo sur la reelaj nombroj.
  • Ĉiu lineara formo f sur vektora spaco difinas duonnormon per x→|f(x)|.

Eŭklida normo[redakti | redakti fonton]

Sur Rn, la eŭklida distanco, intuicia nocio de longo de la vektoro x = [x1, x2, ..., xn] estas

\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.

Ĉi tiu donas la ordinaran distancon de la fonto al x, konsekvenco de la pitagora teoremo. La eŭklida normo estas la plej kutime uzita normo sur Rn, sed estas la aliaj normoj sur ĉi tiu vektora spaco kiuj estas montritaj pli sube.

Sur Cn la plej komuna normo estas

\|\mathbf{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}., ekvivalento de la eŭklida normo sur R2n.

En ĉiu okazo oni povas ankaŭ esprimi la normon kiel la kvadrata radiko de la ena produto de la vektoro al si. La eŭklida normo estas ankaŭ nomata kiel la l2.

Taksia normo aŭ Manhatana normo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Taksia geometrio.
\|x\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.

La nomo rilatas al la distanco kiun taksio havas por traveturi rektangulan stratan kradon.

p-normo[redakti | redakti fonton]

Estu p≥1 reela nombro.

\|x\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}

Noto ke por p=1 ĝi estas la taksia normo kaj por p=2 ĝi estas la eŭklida normo.

Malfinia normo aŭ maksimuma normo[redakti | redakti fonton]

\|x\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).

Ĉi tiu estas la normo al kiu konverĝas la p-normo kiam p kreskas malfinie.

Nula normo[redakti | redakti fonton]

En la maŝina lerno kaj optimumigo, ofte estas uzata la nula normo. La nula normo de x estas difinita kiel  \lim_{p\rightarrow 0} \|x\|_p^p, kie \|x\|_p estas la p-normo difinita pli supre. Definante 0^0 \equiv 0, oni povas skribi la nulan normon kiel \sum_{i=1}^n x_i^0. La nula normo de x estas simple la kvanto de nenulaj eroj de x. Malgraŭ ĝia nomo, la nula normo ne estas vera normo; aparte, ĝi estas ne pozitive homogena.

Aliaj normoj[redakti | redakti fonton]

Alia normoj sur Rn povas esti konstruitaj per kombinigo de tiuj la pli supre menciitaj; ekzemple

\|x\| := 2|x_1| + \sqrt{3|x_2|^2 + \max(|x_3|,2|x_4|)^2}

estas normo sur R4.

Por ĉiu normo kaj ĉiu bijekcia lineara transformo A oni povas difini nova normo de x, egalan al \|Ax\| . En 2D, kun A - turnado per 45° kaj taŭga skaligo, ĉi tiu ŝanĝas la taksian normon en la maksimuman normon. En 2D, ĉiu A aplikita al la taksia normo, krom al inversigo kaj interŝanĝanta de aksoj, donas malsaman unuoblan pilkon: paralelogramo de aparta formo, amplekso kaj orientiĝo. En 3D ĉi tiu estas simila sed malsama por la 1-normo (okedro) kaj la maksimuma normo (prismo kun paralelograma bazo).

Ĉiu pli supre donitaj formuloj ankaŭ donas normojn sur Cn sen ŝanĝo.

Okazo de malfiniaj dimensioj[redakti | redakti fonton]

La ĝeneraligo de la normoj pli supre donitaj al malfinia kvanto de komponantoj kondukas al la Lp spacoj kun normoj

 \|x\|_p = \left(\sum_{i\in\mathbb N}|x_i|^p\right)^{\frac1p}
 \|f\|_{p,X} = \left(\int_X|f(x)|^p\,\mathrm dx\right)^{\frac1p}

(por komplekso-valoraj vicoj x kaj funkcioj f difinitaj sur X\subset\mathbb R), kiu povas esti plu ĝeneraligita (vidu en mezuro de Haar).

Ĉiu ena produto konkludas en natura vojo al normo \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}

Alia ekzemploj de malfiniaj dimensiaj normigitaj vektoraj spacoj povas troviĝi en la banaĥa spaco.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

La koncepto de unuobla cirklo (la aro de ĉiuj vektoroj de normo 1) estas malsama en malsama normoj: por la 1-normo la unuobla cirklo en R2 estas kvadrato, por la 2-normo (eŭklida normo) ĝi estas la konata unuobla cirklo, dum por la malfinia normo ĝi estas kvadrato sed alie turnita.

Du normoj ||·||1 kaj ||·||2 sur vektora spaco V estas ekvivalentaj se ekzisti pozitivaj reelaj nombroj C kaj D tiaj ke

C\|x\|_1\leq\|x\|_2\leq D\|x\|_1

por ĉiu x en V. Sur finie dimensia vektora spaco ĉiuj normoj estas ekvivalentaj.

Ĉiu duonenormo estas sublineara funkcio, kio implicas ke ĉiu normo estas konveksa funkcio. Kiel rezulto, trovigo de malloka optimumo de normo-bazita objekta funkcio estas ofte akordiĝema.

Por donita finia aro de duonnormoj pi sur vektora spaco la sumo

p(x):=\sum_{i=0}^n p_i(x)

estas denove duonnormo.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]