Teoremo de Poynting

En elektromagnetismo, la teoremo de Poynting, formulita de brita fizikisto John Henry Poynting, esprimas la principon de konservado de energio. Tiel malkresko de elektromagneta energio en unu regiono kreas disperdon de povumo laŭ formo de varmo (per ĵula efiko) kaj eksteren radiadan fluon de la vektoro de Poynting.

Estas rilato de la derivaĵo laŭ la tempo de la denseco de la elektromagneta energio kun la fluo de energio kaj la ritmo laŭ kiu laboro aŭ varmo okazas. Tio tradukiĝas per la sekvanta formulo:

${\frac {\partial {\mathcal {W}}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {\Pi }}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}\ ,$

kie ${\mathcal {W}}$ estas la lokala denseco de energio $({\frac {\partial {\mathcal {W}}}{\partial t}}={\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}+{\vec {H}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}),\$ $\;{\vec {\Pi }}={\frac {{\vec {E}}\times {\vec {B}}}{\mu _{0}}}$ la vektoro de Poynting , ${\vec {J}}$ la vektoro kurenta denseco, ${\vec {B}}$ la magneta induko kaj ${\vec {E}}$ la elektra kampo.

Ĝia integrala formo dedukteblas, pri lineara medio kun ne tempodependaj proprecoj:

$P_{d}+\iint _{A}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\Pi }}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iiint _{V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\subset \!\supset \;{\frac {1}{2}}({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {H}}\cdot {\vec {B}})\mathrm {d} V=-{\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}\ ,$

kie:

• $P_{d}=\iiint _{V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\subset \!\supset \;{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}\mathrm {d} V$: povumo disperdita per ĵula efiko,
• Duobla integralo de la vektoro de Poynting: radiada povumo, kaj
• $W\$: elektromagneta energio.

Demonstro de la teoremo

La laboro liverita de forto estas laŭ sia difino:

$\mathrm {d} W=\sum _{i}\mathrm {d} {\vec {F}}_{i}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=(\mathrm {d} {\vec {F}}_{e}+\mathrm {d} {\vec {F}}_{m})\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}\ ;$

sed la magneta forto estas orta al la direkto de la tutaj elektraj ŝargoj $\mathrm {d} q\,$ (trairantaj en konsiderata volumeno), do ne liveras laboron, tial la laboro de la Lorenca forto reduktiĝias sekvante:

$\mathrm {d} W=\mathrm {d} {\vec {F}}_{e}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}={\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}.\mathrm {d} q\ .$

La laboro por unuo da tempo kaj unuo da volumeno estas:

${\frac {\mathrm {d} P_{d}}{\mathrm {d} V}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t.\mathrm {d} V}}={\frac {{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}\cdot \mathrm {d} q}{\mathrm {d} t\cdot \mathrm {d} V}}={\vec {E}}\cdot {\vec {J}}\ ,$

ĉar la kurento estas ${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=I$, kaj la kurenta denseco ${\vec {J}}={\frac {I}{\mathrm {d} V}}{\vec {\mathrm {d} l}}$ .

Per apliko de la ekvacio de Maxwell pri induko kaj de la ekvacio de Maxwell-Faraday, oni povas skribi:

$\nabla \times {\vec {H}}\,\;\;=\;{\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\ ,$ $\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\ .$

Per apliko de la vektora rilato pri la diverĝenco de kirlo

$\nabla .({\vec {E}}\times {\vec {H}})=(\nabla \times {\vec {E}})\cdot {\vec {H}}-{\vec {E}}\cdot (\nabla \times {\vec {H}})\,,$

do

$\nabla .({\vec {E}}\times {\vec {H}})=-{\vec {H}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}-{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}-{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\,,$

alie skribita

$-{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}=\nabla .({\vec {E}}\times {\vec {H}})+({\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}+{\vec {H}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}})\,.$

Tio estas en vakuo

$-{\vec {E}}.{\vec {J}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})+{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {\epsilon _{0}{\vec {E}}^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {B}}^{2}}{2\mu _{0}}})=\nabla \cdot {\vec {\Pi }}+{\frac {\partial {\mathcal {W}}}{\partial t}}\,.$

Vidu ankaŭ

• Ekvacioj de Maxwell
• Operacioj en vektora kalkulo
• Elektra energio
• Radiada energio