Ekvacioj de Maxwell

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La ekvacioj de Maxwell estas kvar ekvacioj kiu priskribas la konduton de elektraj kaj magnetaj kampoj. Ili estis eltrovitaj de James Clerk Maxwell en 1864. Konsekvence al la leĝo de Lenz-Faraday pri la variado de magneta flukso   \Delta \Phi  , la laboro W de la elektromagneta forto (de Lorentz/Laplace) sur elektra konduktilo, kiu estas trairita de elektra kurento I, estas :

 W = I \Delta \Phi \ ,

 \Delta \Phi estas la variado de la magneta fluo, kiu trairis la surfacon de la elektra konduktilo, aŭ kiun trapasas la elektra konduktilo.

En la sekvantaj ekvacioj, dikliteraj simboloj reprezentas vektorojn, dum kursivaj simboloj reprezentas skalarojn.

La ekvacioj de Maxwell estas ĝeneralaj, sed sekvas iliaj aplikoj laŭ la konsiderataj medioj.

Formulado pri liberaj ŝargoj kaj kurentoj[redakti | redakti fonton]

Tiu ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al konduktanta medio.

Pri lokala formo :


\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot \mathbf D = {\rho_l} & \mathrm{(ekvacio \;  de  \; Maxwell-Gauss)}
\\
  \nabla \cdot \mathbf B = 0 & \mathrm{(ekvacio \;  de\;  Maxwell\;  pri \; indukto)}
\\
  \nabla \times \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t} & \mathrm{(ekvacio \;  de \; Maxwell-Faraday)}
\\
  \nabla \times \mathbf H = \mathbf j_l + 
{\partial \mathbf D}/{\partial t} & \mathrm{(ekvacio \;  de \;  Maxwell-Ampere)}
\end{matrix}
\right.

kie

\nabla \cdot \mathrm N estas diverĝenco de N kaj
\nabla \times \mathrm N estas kirlo de N, konsiderante
\rho_l la ŝargan densecon de liberaj ŝargoj, kaj
\mathbf j_l la libera kurenta denseco.

La kurenta denseco estas proporcia al la trairantaj elektraj ŝargoj, kiuj estas proporciaj al la elektra kampo E, la proporcia koeficiento nomiĝas elektra konduktivo σ :

\mathbf j_l =\sigma \mathbf E \; .

Se oni integras la kvar ĉisuprajn ekvaciojn de Maxwell, la integralaj formoj deduktiĝas tiel :

 \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{D}} \cdot \mathrm d{\mathbf{a}} =  \iiint_V\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \;\;\;\;\;\;\;\; \subset\!\supset \;\rho_l \; \mathrm d v = Q_l(V)  \; , pri elektra fluo tra fermita surfaco (vidi Gaŭsan leĝon)
 \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{B}} \cdot \mathrm d {\mathbf{a}} = 0  \; ; pri magneta fluo tra fermita surfaco (leĝo de konserviĝa flukso)
 \oint_C \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf s =-\frac{\partial}{\partial t}  \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{B}} \cdot \mathrm d\mathbf a =  -\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}  \; ; (vidi leĝon de Lenz-Faraday)
 \oint_C \mathbf H \cdot \mathrm d \mathbf s = \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf j_l} \cdot \mathrm d {\mathbf{a}} + \frac{\partial}{\partial t}  \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{D}} \cdot \mathrm d \mathbf a = I_l + \frac{\partial \Phi_D}{\partial t} \; ; (vidi Amperan cirkvitan leĝon)

kie

\mathrm N  \cdot  \mathrm n estas skalara produto inter N kaj n ,
Q_l(V) estas la sumo de liberaj elektraj ŝargoj tra la fermita volumeno V ,
I_l estas la sumo de liberaj elektraj kurentoj tra la surfaco S ,
\Phi_B estas la magneta flukso kaj
\Phi_D estas la flukso de la elektra ŝovodenso .

Formulado pri tutaj ŝargoj kaj kurentoj[redakti | redakti fonton]

Tiu ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al konduktanta medio kun dielektraj aŭ/kaj magnetaj propraĵoj.


\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot \mathbf E = {\rho}/{\epsilon \varepsilon_0} & \mathrm{(MG)}
\\
  \nabla \cdot \mathbf B = 0 & \mathrm{(M\Phi)}
\\
  \nabla \times \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t} & \mathrm{(MF)}
\\
  \nabla \times \mathbf B = \mu \mu_0 \mathbf J + \mu \mu_0 \epsilon \varepsilon_0  { \partial \mathbf E}/{\partial t} & \mathrm{(MA)}
\end{matrix}
\right.

kie

\rho \ estas la tuta la ŝarga denseco de liberaj ŝargoj kaj baraj ŝargoj  \rho = \rho_l + \rho_b \ ,
\mathbf J la tuta kurenta denseco,  \mathbf J = \mathbf j_l + \mathbf j_b ,
 \epsilon \ estas la dielektra permeableco (povus esti kompleksa) de la medio kaj
 \mu \ estas la permeableco (povus esti kompleksa) de la medio ;

sciante ke

 \varepsilon_0 estas la permitiveco de vakuo kaj
 \mu_0 \ estas la permeableco de vakuo.

Se oni integras la ĉisuprajn ekvaciojn:

 \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{E}} \cdot \mathrm d{\mathbf{a}} = {Q(V)}/{\epsilon \varepsilon_0}  \; , (Gaŭsa leĝo)
 \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{B}} \cdot \mathrm d {\mathbf{a}} = 0  \; ; (konserviĝa flukso)
 \oint_C \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf s  =  -\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}  \; ; (Leĝo de Lenz-Faraday)
 \oint_C \mathbf B \cdot \mathrm d \mathbf s = \mu \mu_0 I + \mu \mu_0 \epsilon \varepsilon_0 \frac{\partial \Phi_E}{\partial t} \; ; (Ampera cirkvita leĝo)

kie

Q(V) estas la tutaj elektraj ŝargoj en la fermita volumeno V ,
I estas la tutaj kurentoj tra la surfaco S limigita per la kurbo C, kaj
\Phi_E estas la elektra fluo.
Aparta kazo de konstanta frekvenco kaj kompleksaj komponantoj :

\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot  \underline{ \mathbf D} = \rho
\\
  \nabla \cdot \underline{\mathbf B} = 0 
\\
  \nabla \times \underline{\mathbf E} = - i \omega \underline{ \mathbf B}
\\
  \nabla \times {\underline{\mathbf B}}/{\mu \mu_0} =  (\sigma + i  \varepsilon \varepsilon_0 \omega) \underline E  
 \end{matrix}
\right.

kie

i = \sqrt{-1} , kaj \omega \  estas la angula frekvenco .

Formulado pri linearaj medioj[redakti | redakti fonton]

Tiu ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al linearaj, izotropaj kaj tempo-invariantaj medioj.


\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot \varepsilon \varepsilon_0 \mathbf E = \rho_l   
\\
  \nabla \cdot \mathbf B = 0    
\\
  \nabla \times \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t} 
\\
  \nabla \times {\mathbf B}/{\mu \mu_0} = \mathbf j_l + \varepsilon \varepsilon_0
{\partial \mathbf E}/{\partial t} 
\end{matrix}
\right.

kie

\varepsilon estas la relativa permitiveco (reela valoro) de la materio,
\mu \ estas la relativa permeableco (reela valoro) de la materio.

Se oni integras la ĉisuprajn ekvaciojn:

 \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\varepsilon \varepsilon_0 \mathbf{E}} \cdot \mathrm d{\mathbf{a}} = Q_l(V)  \; ,
 \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{B}} \cdot \mathrm d {\mathbf{a}} = 0  \; ;
 \oint_C \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf s  =  -\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}  \; ;
 \oint_C {\mathbf B}/{\mu \mu_0} \cdot \mathrm d \mathbf s  = I_l + \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\partial \Phi_E}{\partial t} \; ;

Formulado pri vakuo[redakti | redakti fonton]

En vakuo, la relativa permitiveco egalas al unu (\varepsilon=1), same kiel la relativa permeableco (\mu=1 \ ), plie estas neniuj ŝargoj (\rho=0 \ ) kaj neniu kurento (\mathbf j = 0 \ ).

La formuloj simpliĝas :


\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot  \mathbf E = 0 
\\
  \nabla \cdot \mathbf B = 0 
\\
  \nabla \times \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t} 
\\
  \nabla \times \mathbf B =  \varepsilon_0 \mu_0
  {\partial \mathbf E}/{\partial t}
\end{matrix}
\right.

La integralaj formoj estas facile dedukteblaj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]