Cikloido

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Cikloido (ruĝa) generita per ruliĝanta cirklo

En geometrio, cikloido estas la kurbo difinita per fiksa punkto sur rado dum ĝi ruliĝas, aŭ, pli detale, la loko de punktoj sur la radrondo de cirklo ruliĝanta laŭ rekto.

La cikloidon la unua studis Nikolao de Cusa kaj poste Mersenne. Ĝi estis nomita fare de Galileo en (1599, Kategorio:1599). En 1634 G.P. de Roberval montris, ke la areo sub cikloido estas trioble la areo de la ĝin generanta cirklo. En 1658 Christopher Parvolo montris, ke la longo de cikloido estas kvaroble la diametro de la ĝin generanta cirklo.

La supra parto suben de cikloido estas la solvaĵo al la problemo _brachistochrone_ (kio estas, ke ĝi estas la kurbo de la plej rapida descendo sub gravito) kaj la rilatanta problemo _tautochrone_ (kio estas la (periodo, punkto) de pilko ruliĝanta tien kaj reen (ene ĝi ne dependi sur la startanta pozicio de la pilko). La cikloidon iuj nomas "La Heleno de Geometriistoj" ĉar ĝi kaŭzis oftajn disputojn inter matematikistoj dum la 17-a jarcento.

Grafikaĵo de cikloido generita per cirklo de radiuso r=2

La cikloido tra la fonto, kreita de cirklo de radiuso r, konsistas de la punktoj (x,y) kun

x = r(t - sin t)
y = r(1 - cos t)

kie t estas reela parametro, egala al la situo de centro de la ruliĝanta cirklo.

Se vidita kiel funkcio y(x), ĝi estas ajna ofte diferencialebla ĉie escepti je la specialaĵoj kie ĝi frapas la x-akson; la inklino je la specialaĵoj estas malfinia. Ĝi kontentigas la diferencialan ekvacion

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}

Rilataj kurboj[redakti | redakti fonton]

Kelkaj kurboj estas rilatantaj al la cikloido. Kiam ni malstreĉigas la kriterion, ke la fiksa punkto estu sur la radrondo de la cirklo, ni ricevas la mallongigitan cikloidon kaj la longigitan cikloidon. En la antaŭa okazo la punkto spuranta ekster la kurbo estas ene de la cirklo kaj en la lasta kazo ĝi estas ekster. Troĥoido signifas ian ajn cikloidon, mallongigitan cikloidon aŭ longigitan cikloidon. Se ni plue permesas la linion sur kiu la cirklo ruliĝas esti ajna cirklo (rekto estas cirklo de malfinia radiuso) tiam ni ricevas la epicikloidon (cirklo ruliĝanta sur la ekstero de alia cirklo, punkto sur la radrondo de la rulanta cirklo), la hipocikloido (cirklo sur la ena flanko, punkto sur la radrondo), la epitroĥoido (cirklo sur la ekstero, punkto ie sur cirklo), kaj la hipotroĥoido (cirklo sur la ena flanko, punkto ie sur cirklo).

Ĉiuj ĉi tiuj kurboj estas ruletoj kun cirklo rulita laŭ uniforma kurbeco. La cikloido, epicikloidoj, kaj hipocikloidoj havas la propraĵon, ke ĉiu estas simila al ĝia evoluto. Se q estas la produto de tiu kurbeco kun la cirkla radiuso, signita pozitiva por epi- kaj negativa por hipo-, tiam la kurbo: evoluto homotetia rilatumo estas 1+2q.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]