Linio (geometrio)

Parabolo, simpla ekzemplo de konika kurbo

Linio aŭ kurbo estas matematika termino, unu el fundamentaj terminoj de matematikaj fakoj kiel geometrio, diferenciala geometrio, topologio. La termino estas uzata en ĉiutaga lingvo.

Linio (de lat. Linea - lina fadeno) estas unu el unuarangaj nocioj en geometrio. Difini ĝin matematike rigore ne estas facile, kaj diversaj branĉoj de matematiko traktas ĝin malsame.

Terminologia rimarko

Linion, kiu ne estas rekta, oni okaze nomas kurbo. Tamen fojfoje oni uzas la vorton "kurbo" kiel plenan sinonimon de la matematika termino "linio".

Intuiciaj postuloj

Malgraŭ intuicia facilo, la termino estas tre malfacila precize difini. Ĝusta difino povas esti "laŭvola linio" sur ebeno aŭ en 3D spaco, ankaŭ rekto, kiu povas diverĝi kaj rompiĝi.

(1) Linio sin prezentas unudimensian kontinuan aron da punktoj;

(2) Linio estas trajektorio de moviĝanta punkto;

(3) Linio estas bordo de la parto de surfaco.

Difino (topologio)

Kompakta kurbo estas sternaĵo de dimensio 1, alivorte kontinuumo en kiu por ĉiu ĝia punkto, kaj laŭvola ĉirkaŭaĵo de ĉi tiu punkto ekzistas ia ĉirkaŭaĵo de punkto, kiu entenas en lastan, kiu rando ne havas kontinuumon, kiu konsistas el ne pli ol unu punkto (ĉiaj punktoj havas laŭvolan ĉirkaŭaĵon kun 0-dimensia rando).

Pli fruaj nocioj de kurbo

Pavel Urysohn kaj Karl Menger difinis la koncepton per la topologio ĉirkaŭ 1920, tamen provoj difini la terminon "kurbo" okazis jam el antikveco:

Komentantoj de Eŭklido difinis ĝin kiel "longo sen larĝo" aŭ "redukta ebeno".

Sed ĉi tiuj difinoj ne estas difinoj en matematika senco.

Kartezio difinis kurbon kiel aron da punktoj, kiuj verigas ekvacion. Tia difino ne entenas ĉiujn eblecojn.
Camille Jordan en XIX-a jarcento difinis kurbon kiel aron da punktoj $\left(\varphi (t),\psi (t)\right)$ , kiam $\varphi$ kaj $\psi$ estas kontinuaj funkcioj, kaj $t$ estas parametro el intervalo de reelaj nombroj.

Alinome kurbo de Jordan estas bildo de intervalo (ekvivalente: segmento) en kontinua bildigo. Bedaŭrinde, ĉi tiu difino estas tro entenanta. En 1890 jaro Giuseppe Peano pruvis, ke, laŭ ĉi tiu difino, ankaŭ kvadrato kune kun ĝia enhavo estas kurbo (kurbo de Peano).

Sekva difino difinas kurbon kiel kunaĵon de fina kvanto de arkoj, kiam nenia el du arkoj havas kunajn punktojn krom iliaj finoj. Sed ĉi tiu difino ne entenas kelkajn eblecojn. ekz:
: $\left\{(x,y):y=\sin ~{\tfrac {2\pi }{x}},0<x\leq 1\right\}$ kun segmento $\left\{(x,y):x=0,-1\leq y\leq 1\right\}$ .
Georg Cantor en fino de XIX-a jarcento anoncis difino: ebena kurbo (en 2D spaco) estas tia kontinuumo en ebeno, ke ne entenas ia ajn cirklojn kun pozitiva radiuso.
En 20-a jarcento, rusa matematikisto Pavel Urysohn difinis kurbon tiel, kiel komenco de artikolo. En 2D spaco estas ekvivalenta al Cantora difino.

Genroj de kurboj

Oni povas difini kelkajn diferencajn genrojn de kurboj kiam oni aldonas al difino de Jordan aldonatajn kondiĉojn al funkcioj $\varphi$ kaj $\psi$ . ekzemple:

Iuj kurboj

En elementa geometrio oni esploras rektan linion aŭ rekton, detranĉojn de rekto, rompitan linion, kurban (ne nepre rektan) linion aŭ kurbon. Ĉiu speco de linio estas determinita per speciala maniero, ekz. "Cirklo estas aro de tiuj punktoj, kiuj egale distancas de la donita punkto O". Oni nomas la punkton O - centro de la cirklo, kaj la distancon R - radiuso de la cirklo.

Linio povas esti prezentita per parametroj. Ekz. se enkonduki ortajn koordinatojn (x, y) sur ebeno, oni povas doni radiuson de la cirklo R kun centro en O, per sekvajn ekvacioj: x=R · cos t, y=R · sin t, kiam parametro t forkuras intervalon 0≤t≤2p, tiam la punkto (x, y) elskribas la cirklon.

Kaj ĝenerale oni prezentas linion sur la ebeno per parametra ekvacio x=Φ(t) kaj y=Ψ(t), kie Φ(t), Ψ(t) estas arbitraj funkcioj, kontinuaj sur iu finia aŭ nefinia intervalo D de la nombra akso t. Por ĉiu valoro de la parametro el intervalo D, la ekvaciaro kompareblas al la punkto M, kies koordinatojn oni povas difini per la nomitaj ekvacioj. Analogie ĝeneraligas ĉi tiun regulon por 3-dimensiaj kaj plurdimensiaj spacoj.

En analiza geometrio oni prezentas linion per algebraj funkcioj, t.e. per plurtermoj kun n≥1 gradoj. Depende de la gradoj oni distingas jenajn liniojn: