Propagilo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En kvantummekaniko, propagilo estas funkciodistribucio priskribanta la amplitudon de probablon por partiklo movi el pozicio al alia pozicio. Teknike, ĝi estas la funkcio de Green de la ekvacio de movo.

Difino[redakti | redakti fonton]

Nerelativeca partiklo[redakti | redakti fonton]

La propagilo K(x,t;x',t') estas funkciodistribucio veriganta la jenan ekvacion:

\left(\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}-H\right)K(\mathbf x,t;\mathbf x',t')=\delta(x-x')\delta(t-t').

Tie ĉi, H estas la hamiltoniano kaj \delta estas la diraka distribucio.

Ekzemple, konsideru liberan nerelativecan partiklon. La propagilo do verigas:

\left(\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\right)K(\mathbf x,t;\mathbf x',t')=\delta(x-x')\delta(t-t').

Pro solvi ĝin, konvertu en movokvanto- kaj frekvencospacon:

(\hbar\omega-\hbar^2p^2/2m)K(\mathbf p,\omega)=1.

Sekvas ke

K(\mathbf p,\omega)=\frac1{\hbar\omega-\hbar^2p^2/2m}.

Konvertu reen en pozicio- kaj tempospacon:

K(\mathbf x,t;\mathbf x',t')=\int\frac{\operatorname d^3\!\mathbf k\;\operatorname d\!\omega}{(2\pi)^4}\exp(\mathrm i(\mathbf k\cdot(\mathbf x-\mathbf x')-\omega(t-t')))K(\mathbf p,\omega).

La integralo estas ambigua, ĉar la integralato havas poluson ĉe

\omega=\hbar p^2/2m.

Oni devas malambiguigi la integralon per aldoni infinitezimon, sed du eblaj signoj ekzistas. (Tial la propagilo ne estas unika.) Aldonu infinitezimon kaj ni povas kalkuli:

K_\pm(\mathbf x,t;\mathbf x',t')
=\int\frac{\operatorname d^3\!\mathbf k\;\operatorname d\!\omega}{(2\pi)^4}\exp(\mathrm i(\mathbf k\cdot(\mathbf x-\mathbf x')-\omega(t-t')))
\frac1{\hbar\omega\pm\mathrm i\epsilon-\hbar^2p^2/2m}
=\mp\frac{\mathrm i}\hbar\theta(\pm t\mp t')\left(\frac m{2\pi\mathrm i\hbar(t-t')}\right)^{3/2}\exp\left(\frac{\mathrm im}{2\hbar(t-t')}(\mathbf x-\mathbf x')^2\right),

kie

\theta(x)=\begin{cases}
1&\text{se }x>0\\
0&\text{se }x<0
\end{cases}

signifas la hevisidan funkcion. La funkcio K_+ nomiĝas la estinta (angle retarded) propagilo, ĉar K_+(\mathbf x,t;\mathbf x',t') estas nenula nur se t>t'. Dume la funkcio K_- nomiĝas la estonta (angle advanced) propagilo, ĉar K_-(\mathbf x,t;\mathbf x',t') estas nenula nur se t<t'.

Relativeca partiklo[redakti | redakti fonton]

Ni uzas signokonvencion +--- por la metriko, k.e., x\cdot y=x^0y^0-\mathbf x\cdot\mathbf y.

Relativeca skalara partiklo verigas la ekvacion de Klein-Gordon. Tial la propagilo K(x,y) de relativeca skalara partiklo difiniĝas kiel la funkcio de Green de la ekvacio de Klein-Gordon. Jen:

(\partial^2+m^2)K(x,y)=-\delta(x-y).

Pro solvi ĝin, konvertu en movokvantospacon:

(p^2-m^2)K(p)=1.

Do

K(p)=\frac1{p^2-m^2}.

Konvertu reen en poziciospacon:

K(x,y)=\int\frac{\operatorname d^4\!p}{(2\pi)^4}\frac1{p^2-m^2}.

La integralo estas ambigua, ĉar la integralato havas du polusojn ĉe

p^0=\pm(\mathbf p^2+m^2).

Oni devas malambiguigi la integralon per aldoni infinitezimon. Laŭ teorio de kurba integralo, ni povas iri aŭ supren aŭ malsupren trans ĉiu poluso. Tial ekzistas kvar malsama metodoj malambiguigi la integralon; la propagilo ne estas unika. Si ni iras supren trans ambaŭ polusoj, la estinta (angle retarded) propagilo troviĝos:

K_\mathrm R(x,y)=\int\frac{\operatorname d^4\!p}{(2\pi)^4}\frac1{(p_0+\mathrm i\epsilon)^2-\mathbf p^2-m^2}
=\begin{cases}
\left(-\delta(s)+m\operatorname J_1(m\sqrt s)/2\sqrt s\right)/2\pi&\text{se }x^0>y^0\text{ kaj }s\ge0\\
0&\text{alie},
\end{cases}

kie \operatorname J_1 signifas la funkcion de Bessel de la unua speco kaj s=(x-y)^2. Si ni iras malsupren trans ambaŭ polusoj, la estonta (angle advanced) propagilo troviĝos:

K_\mathrm A(x,y)=\int\frac{\operatorname d^4\!p}{(2\pi)^4}\frac1{(p_0-\mathrm i\epsilon)^2-\mathbf p^2-m^2}
=\begin{cases}
\left(-\delta(s)+m\operatorname J_1(m\sqrt s)/2\sqrt s\right)/2\pi&\text{se }x^0<y^0\text{ kaj }s\ge0\\
0&\text{alie}.
\end{cases}

Si ni iras malsupren trans la maldekstra poluso (ĉe p^0=-\sqrt{\mathbf p^2+m^2} kaj supren trans la dekstra poluso (ĉe p^0=+\sqrt{\mathbf p^2+m^2}), la propagilo de Feynman troviĝos:

K_\mathrm F(x,y)=\int\frac{\operatorname d^4\!p}{(2\pi)^4}\frac{\exp(-\mathrm ip\cdot(x-y))}{p^2-m^2+\mathrm i\epsilon}
=\begin{cases}
\left(-\delta(s)+m\operatorname H_1^{(1)}(m\sqrt s)/2\sqrt s\right)/2\pi&\text{se }s\ge0\\
-\mathrm im\operatorname K_1(m\sqrt{-s})/(4\pi^2\sqrt{-s})&\text{se }s<0,
\end{cases}

kie \operatorname H_1^{(1)} signifas la funkcion de Hankel de la unua speco kaj \operatorname K_1 signifas la modifitan funkcion de Bessel de la dua speco. Si ni iras supren trans la maldekstra poluso kaj malsupren trans la dekstra poluso, la propagilo de Dyson troviĝos:

K_\mathrm D(x,y)=\int\frac{\operatorname d^4\!p}{(2\pi)^4}\frac{\exp(-\mathrm ip\cdot(x-y))}{p^2-m^2-\mathrm i\epsilon}
=\begin{cases}
\left(-\delta(s)+m\operatorname H_1^{(2)}(m\sqrt s)/2\sqrt s\right)/2\pi&\text{se }s\ge0\\
\mathrm im\operatorname K_1(m\sqrt{-s})/(4\pi^2\sqrt{-s})&\text{se }s<0,
\end{cases}

kie \operatorname H_1^{(2)} signifas la funkcion de Hankel de la dua speco.

La kvar propagiloj verigas la jenajn ekvaciojn.

K_\mathrm R+K_\mathrm A=K_\mathrm F+K_\mathrm D
K_\mathrm R(x-y)=K_\mathrm A(y-x)
K_\mathrm F(x-y)=K_\mathrm F(y-x)=K_\mathrm D(x-y)^*
K_\mathrm D(x-y)=K_\mathrm D(y-x)=K_\mathrm F(x-y)^*.

Ankaŭe, la propagiloj esprimiĝas kun vakuaj atendataj valoroj de kampoperatoroj:

K_\mathrm R(x-y)=-\mathrm i\theta(x^0-y^0)\langle0|[\phi(x),\phi(y)]|0\rangle
K_\mathrm A(x-y)=\mathrm i\theta(y^0-x^0)\langle0|[\phi(x),\phi(y)]|0\rangle
K_\mathrm F(x-y)=-\mathrm i\langle0|\mathsf T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rangle
=-\mathrm i\theta(x^0-y^0)\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle
-\mathrm i\theta(y^0-x^0)\langle0|\phi(y)\phi(x)|0\rangle
K_\mathrm D(x-y)=\mathrm i\langle0|\mathsf T\{\phi(x)\phi(y)\}^\dagger|0\rangle
=\mathrm i\theta(x^0-y^0)\langle0|\phi(y)\phi(x)|0\rangle
+\mathrm i\theta(y^0-x^0)\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle.

Partiklo kun spino[redakti | redakti fonton]

Por diraka partiklo \psi (k.e., dirakspinora kampo) sekvanta la dirakan ekvacion

(\gamma\cdot\partial+m)\psi=0,

oni difinas la propagilon simile:

(\gamma\cdot\partial+m)K(x-y)=\delta(x-y).

En movokvantospaco:

K_\mathrm F(p)=\frac1{\gamma\cdot p-m+\mathrm i\epsilon}=\frac{\gamma\cdot p+m}{p^2-m^2+\mathrm i\epsilon}

por la propagilo de Feynman, ktp.

Por nulmasa vektora partiklo A (ekz, la fotono), ekzistas pluraj eblaj gaŭĝoj. Simpla gaŭĝo estas la gaŭĝo de Lorenz \partial\cdot A=0. Do la partiklo sekvas la ekvaciojn de Maxwell kun gaŭĝfiksanta termo:

\partial^2A_\mu=0.

Oni difinas la propagilon simile:

\partial^2K_{\mu\nu}(x-y)=\delta(x-y).

En movokvantospaco, la propagilo (de Feynman, ktp.) estas:

K_{\mathrm F\mu\nu}(p)=\frac{-g_{\mu\nu}}{p^2+\mathrm i\epsilon}.

Referencoj[redakti | redakti fonton]