Gaŭĝa teorio

En fiziko, gaŭĝa teorio estas fizika teorio kun lokaj kontinuaj simetrioj (gaŭĝaj simetrioj) — simetrioj kiuj ŝanĝas sole operatorojn difinitajn en iu eta areo de spactempo. Kelkaj gaŭĝaj teorioj, ekzemple kvantuma elektrodinamiko, kvantuma kolordinamiko, kaj la norma modelo, ĝuste priskribas naturon. Gaŭĝaj teorioj ankaŭ havas gravajn aplikaĵojn en diferenciala geometrio, specife en teorio de Donaldson.

Historio kaj etimologio

La plej frua gaŭĝa teorio estas la klasika teorio de elektrodinamiko far James Clerk Maxwell en 1864, sed neniu remarkis la ekziston de loka simetrio. La teorio de Maxwell estas, laŭ moderna terminaro, gaŭĝa teorio kun komuta gaŭĝa grupo U(1). Alia grava gaŭĝa teorio estis la teorio de ĝenerala relativeco, kiu havas kiel gaŭĝa simetrio la simetrio inter koordinatsistemoj (difemorfia simetrio).

La termon "gaŭĝo" (germane Eich) Hermann Weyl enkondukis en 1954, kiam li klopodis unuigi la teorioj de elektrodinamiko kaj ĝenerala relativeco per postuli lokan simetrion de skalo de longo — nuntempe konatan kiel konforma simetrio. Do la skalo de longo dependas de kampo kiu difinas ĝi — alivorte, de matematika gaŭĝo (mezurilo). Lia teorio malsukcesis kiel priskribo de naturo. Tamen, lia principo de gaŭĝa simetrio igis influa.

En 1954, Chen Ning Yang kaj Robert Mills eltrovis klason de teorioj kun lokaj simetrioj, nune konatan kiel teorioj de Yang–Mills, pro priskribi la fortan forton. Unu variaĵo, nune konata kiel kvantuma kolordinamiko, estis pruvita priskribi la fortan forton ĝuste. Alia variaĵo, la modelo de Glashow–Salam–Weinberg aŭ elektromalforta teorio, estis pruvita priskribi la malfortan forton kaj la elektromagnetan forton ĝuste. La kombinaĵo de kvantumkolordinamiko kaj la elektromalforta teorio nomiĝas la norma modelo, ĉar ĝi aperas ĝuste priskribi preskaŭ preskaŭ ĉiajn fenomenojn (escepte de gravito).

Nune, la termino "gaŭĝa teorio" (angle gauge, france jauge, germane Eich) estas iom misnomita: kvankam la gaŭĝa kampo el la originala teorio de Weyl havis interpreton kiel "gaŭĝo" aŭ difino de longo, tamen aliaj gaŭĝaj teorioj ne havas similajn interpretojn.

Difino kaj konstruo

Klasike, gaŭĝa teorio konsistas el la jenaj objektoj.

• Senfine derivebla reela dukto $M$ (spactempon). Normale $M=\mathbb R^{1,3}$, la spaco de Minkowski.
• Kompakta grupo de Lie $G$ (gaŭĝa grupo). La simbolo $\mathfrak g$ signifas ĝian algebron de Lie. La kompakteco de $G$ implicas ke ekzistas natura (pozitive difinita) ena produto $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb R$. Specife, ni povas malkomponi (module finia kovro kaj finia etendaĵo) $G$ kiel produto de $(S^1)^n\times G_\text{d}$, kie $S^1$ signifas la cirklon kaj $G_\text{d}$ estas duonsimpla. De la duonsimpla parto $\mathfrak g_\mathrm d$ ni difinas la formon de Killing $\langle x,y\rangle_{\mathrm d}=-\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y))$, kie $\operatorname{ad}$ estas la adjunkta prezento $\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y]$. La formon de Killing estas negative difinita ĉar kompakteco. De la komuta parto la ena produto estas evidenta; natura normaligo ekzistas ĉar kompakteco, k.e., $\langle x,x\rangle=1$ se kaj nur se $\exp(2\pi x)=1$ kaj ne ekzistas $n\in\mathbb Z^+$ tial ke $\exp(2\pi x/n)=1$.
• Principa $G$-fibro (angle principal bundle, france fibré principal) $P\to M$.
• Principa konekto (angle connection) $A$ (gaŭĝa potencialo) interne de $P$. Por ĉiu malfermita subspaco $U\subset M$ kaj ĉiu loka sekcio $s\colon U\to P$ (elekto de gaŭĝo) ekzistas la $\mathfrak g$-valora 1-formo $A_s\colon M\to\mathfrak g$. La elekto de gaŭĝo ne gravas krom en praktika kalkulo. Laŭ indica skribmaniero ofte uzata de fizikistoj, supozante iun elekton de gaŭĝo, ni skribus $A_\mu^a$, kie $\mu$ signifas la form-indicojn $1,\dotsc,\dim M$ kaj $a$ signifas la algebr-indicojn $1,\dotsc,\dim G$.
• Kelkaj fidelaj linearaj prezentoj $r\colon G\to\operatorname{GL}(V_r)$ sur finidimensiaj vektoraj spacoj $V_r$. El ĉiu $r_i$ difinu la asociitan vektoran fibron (angle associated bundle) $E_r=(P\times V_r)/\sim$ kie $(x,v)\sim(xg^{-1},r(g)v)$ por iu $g\in G$. Kampo ŝargita laŭ $r$ estas $E_r$-valora derivebla formo. Supozante iun elekton de gaŭĝo, ni povas skribi kampon ŝargitam laŭ $r$ kiel $V_r$-valora formo.

Gaŭĝa transformo

Gaŭĝa transformo estas (senfine derivebla) mapo $g\colon M\to G$. La aro de gaŭĝa transformo evidente formas grupo per punkte multipliko. La grupo de gaŭĝaj transformoj agas sur la aro de $G$-konektoj laŭ

$A\stackrel g\mapsto\operatorname{Ad}(g)A+g\operatorname dg^{-1}$

(supozante iun elekton de gaŭĝo) kie $\operatorname{Ad}$ signifas la adjunktan prezenton. Evidente, gaŭĝa transformo rilatas du malsamaj elektoj de gaŭĝo. Kun indicoj kaj por infinitezima transformo $g(x)=1+\alpha(x)$,

$A_\mu^a\mapsto A_\mu^a+f^{abc}\alpha^b A^c_\mu-\partial_\mu\alpha+\mathcal O(\alpha^2)$

kie $f^{abc}$ estas la struktura konstantoj de $\mathfrak g$, veriganta $[x,y]^a=f^{abc}x^by^c$.

Gaŭĝaj transformoj ankaŭ agas sur ŝargitaj kampoj evidente: k.e.,

$\psi(x)\mapsto r(g(x))\psi(x)$

se $\psi$ estas ŝargita laŭ prezento $r$. Kampo (ekz., $\psi$) kiu estas transformata laŭ lineara prezento $r$ estas kunvarianta. Se $E_r$ havas enan produton veriganta $\langle x,r(g)y\rangle=\langle r(g^{-1})x,y\rangle$ (k.e., se $r$ estas unita aŭ orta laŭ la ena produto) do la produto $\langle\psi,\chi\rangle$ ne estas transformita de gaŭĝa transformoj; ĝi estas invarianta. Notu ke $A$ ne estas kunvarianta.

Kunvarianta derivo kaj kampa kurbeco

La $G$-konekto $A$ induktas la kunvariantan derivon $\operatorname D$ por $E_r$-valoraj formoj $\psi$ jene:

$\operatorname D=\operatorname d+r_i(A)\wedge\psi$

(supozante iun elekton de gaŭĝo). Oni povas pruvi ke la difino ne dependas de la elekto de gaŭĝo kaj ke la derivo de $E_r$-valora $k$ formo estas $E_r$-valora $(k+1)$-formo. Kun indicoj, la kunvarianta derivo de 0-formo $\psi^i$ estas

$\operatorname D_\mu\psi^i=\partial_\mu\psi^i+A^a(t_r)^i_{aj}\psi^j$

kie $t_r$ estas la prezentaj matricoj $x^a(t_r)^i_{aj}\psi^j=(r(x)\psi)^i$. La kunvarianta derivo de kunvarianta kampo estas ankaŭ kunvarianta.

Difinu la 2-formon

$F=\operatorname dA+[A,A]$,

kiu nomiĝas la (gaŭĝa) kurbeco (ekvivalento de la elektra kaj magneta kampoj; ne konfuzu kun la kurbeco de spactempo en ĝenerala relativeco). Kun indicoj,

$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+f^{abc}A_\mu^bA^c_\nu$.

La kurbeco $F$ transformas jene:

$F\mapsto\operatorname{Ad}(g)F$.

Tial $F$ ne dependas de la elekto de gaŭĝo: ĝi estas kunvarianta kampo ŝargita laŭ la adjunkta prezento.

Ago de Yang–Mills kaj buklo de Wilson

Pro difini fizike mezureblan valorojn kiuj ne dependas de elekto de gaŭĝo, oni devas difini teorion per nombroj invariantaj de gaŭĝaj transformoj. Supozante rimanan metrikon sur $M$, unu tia nombro estas la ago de Yang–Mills:

$S=\frac14\int_M\langle*F\wedge F\rangle$,

kie $\langle\rangle$ signifas ke oni apliku la enan produton en $\mathfrak g$ (difinita supre) sur la grupa indicoj. Fakte, ni povas aparte difini tiun ĉi kvanton por ĉia komuta komponanto de $G$ (aŭ simpla grupo de Lie aŭ $S^1$). Por simpla komponanto $G_0$, uzante la difinon de la formo de Killing,

$S=-\frac14\int_M\operatorname{tr}_{\operatorname{ad}}(*F\wedge F)$.

Evidente la ago de Yang–Mills estas invarianta (ĉar la cikleco de la spuro). La teorio de Yang–Mills estas la teorio kies ago estas proporcia al $S$.

En kvar dimensioj, alia invarianta objekto estas la termo

$S'=\frac1{8\pi^2}\int_M\langle F\wedge F\rangle$.

La termo estas tuta derivaĵo, kaj tial $S'=0$ se $M$ estas kompakta dukto. Tamen se $M$ ne estas kompakta (ekz, spaco de Minkowski), do $S'$ povas esti nenula. Ekzemple, konsideru $M=\mathbb R^4$. Do la eblaj valoroj de $S'$ respondas al klasojn de mapoj el $S^3$ (la "rando" de $\mathbb R^4$) al $G$: alivorte, la tria homotopian grupon $\pi_3(G)$. Ekzemple, se $G=\operatorname{SU}(n)$ ($n\ge2$) aŭ $G=\operatorname{SO}(n)$ ($n\ge3,n\ne4$; $\operatorname{SO}(4)$ ne estas simpla), do $\pi_3(G)=\mathbb Z$. Do $S'$ estas entjero (la normaliga faktoro estis elektita verigi tio ĉi), konata kiel la nombro de momentpartikloj (angle instanton number).

Alia invarianta objekto estas la buklo de Wilson (angle Wilson loop, france boucle de Wilson) difinita kiel

$W(\mathcal C)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{\mathsf P}\left\{\exp\int_{\mathcal C}A\right\}\right)$

kie $\mathcal C$ estas fermita kurbo kaj $\operatorname{\mathsf P}$ (vojorda operatoro) signifas ke la integralato estas integralita laŭ la ordo en kiu punkto aperas en la kurbo. Tiu ĉi objekto, tamen, rompas Lorencan simetrion en spaco de Minkowski.

Referencoj

Pro ĝenerala legantoj:

• Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things. Johns Hopkins University Press.

Teknikaj libroj kaj artikoloj:

• (2000) Gauge Theory of Weak Interactions. Springer. ISBN 3-540-67672-4. 
• (1983) Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3. 
• (2008) Gauge Field Theories, 3rd, Wiley-VCH. 
• (1987) Modern Elementary Particle Physics. Perseus Books. ISBN 0-201-11749-5. 
• 't Hooft, G. (2008). "Gauge theories". Scholarpedia, 3(12):7443. doi:10.4249/scholarpedia.7443