Rudimenta operacio kun matrico

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro, rudimenta matrico estas kvadrata matrico de unu el certaj specoj, kiu malmulte malsamas de la identa matrico. La rudimentaj matricoj generas la ĝenerala lineara grupo de inversigeblaj matricoj. Maldekstra (respektive, dekstra) multipliko per rudimenta matrico estas rudimenta linia operacio (respektive, rudimenta kolumna operacio).

Rudimentaj liniaj operacioj ne ŝanĝas la aron de solvaĵoj de la sistemo de linearaj ekvacioj prezentita en matrica formo, se ili estas aplikataj samtempe al la matrico de la maldekstra flanko kaj al la dekstra flanko. Ili estas uzataj en gaŭsa eliminado.

Rudimentaj liniaj operacioj ne ŝanĝas la kernon de matrico, sed ili ŝanĝas la bildon. Duale, rudimentaj kolumnaj operacioj ne ŝanĝas la bildon, sed ili ŝanĝas la kernon.

Estas tri specoj de rudimentaj matricoj, kiu respektivas al tri specoj de liniaj operacioj (respektive, kolumnaj operacioj):

  • Interŝanĝo de linioj:
R_i \leftrightarrow R_j
  • Multipliko de linio je nombro: ĉiu ero en la linio estas multiplikata per ne-nula konstanto:
mR_i \rightarrow R_i, kie m≠0
  • Linia adicio: linio estas anstataŭata per sumo de la linio kaj la alia linio multiplikata per ne-nula konstanto:
R_i + mR_j \rightarrow R_i

En algebra K-teorio, rudimentaj matricoj estas nur la linio-adiciaj matricoj.

La rudimenta matrico por ĉiu linia operacio estas ricevata per plenumo de la operacio sur la identa matrico.

Por rudimentaj liniaj operacioj kum m×n matricoj, la rudimentaj matricoj estas kvadrataj m×m matricoj por ajna n.

Por rudimentaj kolumnaj operacioj kum m×n matricoj, la rudimentaj matricoj estas kvadrataj n×n matricoj por ajna m.

Interŝanĝo de linioj[redakti | redakti fonton]

Matrico Ti, j, kun i≠j, maldekstra multipliko per kiu interŝanĝas liniojn i kaj j estas

T_{i, j} = \begin{bmatrix}
 \ddots & & & & & & & & \\
 & 1 & & & & & & & \\
 & & 0 & & & & 1 & & \\
 & & & 1 & & & & & \\
 & & & & \ddots & & & & \\
 & & & & & 1 & & & \\
 & & 1 & & & & 0 & & \\
 & & & & & & & 1 & \\
 & & & & & & & & \ddots
\end{bmatrix}

Tio estas, Ti, j estas la matrico farita per interŝanĝanta de linioj i kaj j de la identa matrico.

Propraĵoj:

  • Inverso de ĉi tiu matrico estas ĝi mem:
Ti, j-1=Ti, j
det(Ti, j) = -1

Tiel por ĉiu kvadrata matrico A de taŭga amplekso

det[Ti, jA] = -det(A)

Multipliko de linio je nombro[redakti | redakti fonton]

Matrico Ti(m), maldekstra multipliko per kiu multiplikas linion i je valoro m estas

T_i(m) = \begin{bmatrix}
1 & & & & & & \\
 & \ddots & & & & & \\
 & & 1 & & & & \\
 & & & m & & & \\
 & & & & 1 & & \\
 & & & & & \ddots & \\
 & & & & & & 1
\end{bmatrix}

Tio estas, Ti(m) estas la matrico farita el la identa matrico per meto de valoro m en loko i, i anstataŭ valoro 1.

Propraĵoj:

  • La inverso de ĉi tiu matrico estas
Ti(m)-1 = Ti(1/m)
  • Ĝia determinanto estas
det(Ti(m)) = m

Tiel por ĉiu kvadrata matrico A de taŭga amplekso

det[Ti(m)A] = mdet(A)

Linia adicio[redakti | redakti fonton]

Matrico Ti, j(m), kun i≠j, maldekstra multipliko per kiu adicias linion j, multiplikitan je valoro m, al linio i estas por i<j de formo

T_{i, j}(m) = \begin{bmatrix}
1 & & & & & & \\
 & \ddots & & & & & \\
 & & 1 & & m & & \\
 & & & \ddots & & & \\
 & & & & 1 & & \\
 & & & & & \ddots & \\
 & & & & & & 1
\end{bmatrix}

kaj por i>j de formo

T_{i, j}(m) = \begin{bmatrix}
1 & & & & & & \\
 & \ddots & & & & & \\
 & & 1 & & & & \\
 & & & \ddots & & & \\
 & & m & & 1 & & \\
 & & & & & \ddots & \\
 & & & & & & 1
\end{bmatrix}

Tio estas, Ti, j(m) estas la matrico farita el la identa matrico per meto de valoro m en loko i, j anstataŭ valoro 0.

Propraĵoj:

  • Ĝia inversa matrico
Ti, j(m)-1 = Ti, j(-m)
  • Ĝia determinanto estas
det(Ti, j(m)) = 1

Tiel por ĉiu kvadrata matrico A de taŭga amplekso

det[Ti, j(m)A] = det(A)

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Kelkaj ekzemplaj matricoj, prezentantaj rudimentajn liniajn operaciojn kun 4×n matricoj por ajna n:

Interŝanĝo de la supraj du linioj:


T_{1, 2}=
\begin{pmatrix}
0 &1 &0 &0 \\
1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}

Multipliko de la tria linio je 14:


T_3(14)=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0\\
0 &1 &0 &0\\
0 &0 &14 &0\\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}

Adicio de la tria linio, multiplikita je -8, al la unua linio:


T_{1, 3}(-8)=
\begin{bmatrix}
1 &0 &-8 &0\\
0 &1 &0 &0\\
0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &1
\end{bmatrix}

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]