Diagonala matrico

En lineara algebro, diagonala matrico estas kvadrata matrico en kiu la elementoj ekster la ĉefdiagonalo estas ĉiuj nulaj. La diagonalaj elementoj povas esti aŭ ne esti nulaj. Tiel, matrico D = (d_i,j) kun n kolumnoj kaj n linioj estas diagonala se:

$d_{i,j}=0{\mbox{ se }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

Skribmaniero uzata estas diag(d₁,...,d_n) por diagonala matrico kies diagonalaj elementoj startante de la supra maldekstre angulo estas d₁,...,d_n.

Ekzemple, jena matrico estas diagonala:

${\begin{bmatrix}2&0&0\\0&-5&0\\0&0&6\end{bmatrix}}$ = diag (2, -5, 6) .

La termino diagonala matrico povas iam esti uzata por ortangula diagonala matrico, kiu estas m-per-n matrico kie nur la elementoj de la formo d_i,i povas esti ne nulaj, ekzemple,

${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&4&0\\0&0&2\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$ aŭ

${\begin{bmatrix}8&0&0&0&0\\0&7&0&0&0\\0&0&-1&0&0\end{bmatrix}}$ .

Tamen, en la resto de ĉi tiu artikolo ni estos konsiderantaj nur kvadrataj matricoj.

Ĉiu diagonala matrico estas ankaŭ simetria matrico. Ankaŭ, se la elementoj estas de la kampo R aŭ C, tiam ĝi estas normala matrico.

Ekvivalente, oni povas difini diagonalan matricon kiel matrico kiu estas samtempe supra triangula matrico kaj suba triangula matrico.

La identa matrico I_n kaj ĉiu kvadrata nula matrico estas diagonala. Unu-dimensia matrico estas ĉiam diagonala.

Diagonala matrico kun ĉiuj ĝiaj ĉefdiagonalaj elementoj la samaj estas skalara matrico, ĝi estas skalaro multiplikita je identa matrico λI. Ĝia efiko sur vektoro estas la sama kiel de skalara multipliko per λ. La skalaraj matricoj estas la centroj de la algebro de matricoj, alivorte ili estas matricoj kiuj komutiĝas kun ĉiuj kvadrataj matricoj de la sama amplekso.

Matricaj operacioj

La operacioj de matrica adicio kaj matrica multipliko estas aparte simplaj por diagonalaj matricoj.

Adicio:

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

Matrica multipliko

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

Diagonala matrico diag(a₁,...,a_n) estas inversigebla se kaj nur se la ĉiuj elementoj a₁,...,a_n estas ne-nulaj. Tiam:

diag(a₁,...,a_n)⁻¹ = diag(a₁⁻¹,...,a_n⁻¹).

La diagonalaj matricoj formas subringon de la ringo de ĉiuj n-per-n matricoj.

Por iu (ne nepre diagonala) matrico B, multipliko B · diag(a₁,...,a_n) estas multipliko ĉiu i-a linio de B per a_i; multipliko diag(a₁,...,a_n) · B estas multipliko ĉiu i-a kolumno de B per a_i

Aliaj propraĵoj

La ejgenoj de diag(a₁, ... , a_n) estas a₁, ... , a_n. La unuoblaj vektoroj e₁, ... , e_n estas la ejgenvektoroj.

La determinanto de diag(a₁,...,a_n) estas produto a₁...a_n.

Kvadrata matrico estas diagonala se kaj nur se ĝi estas triangula kaj normala.

Uzoj

Diagonalaj matricoj okazas en multaj areoj de lineara algebro. Pro simpla priskribo de la matricaj operacioj kaj ejgenoj kaj ejgenvektoroj, estas ofte dezirinde prezenti donitan matricon per diagonala matrico.

Ĉiu donita n-per-n matrico A estas simila al diagonala matrico (ekzistas matrico X tia ke XA(X⁻¹) estas diagonala) se kaj nur se A havas n lineare sendependajn ejgenvektorojn. Ĉi tiaj matricoj estas diagonaligeblaj.

Vidu ankaŭ

• Kontraŭdiagonala matrico
• Dudiagonala matrico
• Tridiagonala matrico
• Rubanda matrico
• Diagonale domina matrico
• Diagonaligebla matrico

Eksteraj ligiloj

• Diagonala matrico en PlanetMath.