Angula difekto
En geometrio, la angula difekto (aŭ deficito) de vertico de pluredro estas la kvanto per kiu la sumo de la anguloj de la edroj je la vertico estas malpli granda ol 2π (la plena cirklo). Se la sumo de la anguloj estas pli granda 2π la difekto estas negativa, ĉi tio povas okazi je iuj verticoj de iuj nekonveksaj pluredroj, kaj ĉe kahelaroj de hiperbola spaco (se kalkuli angulojn de la facetoj kvazaŭ ili estas eŭklidaj). Se pluredro estas konveksa, tiam la difektas de ĉiuj de ĝiaj verticoj estas pozitiva.
La angula difekto en pli altaj dimensioj estas la kvanto per kiu la sumo de la duedraj anguloj de la facetoj je kulmino estas malpli granda ol 2π.
Kartezia teoremo
[redakti | redakti fonton]Kartezia teoremo pri la "entuta difekto" de pluredro postulas ke se la pluredro estas homeomorfa al sfero (do estas topologie ekvivalento al sfero, tiel ke la pluredro povas esti misformita en sferon per streĉado sen disŝiroj), la "entuta difekto", kiu estas la sumo de la difektoj de ĉiuj verticoj, estas du plenaj cirkloj (720° aŭ 4π). La pluredro ne nepre devas esti konveksa.[1]
Ĝeneraligo de la teoremo diras ke la kvanto de cirkloj en la entuta difekto egalas al la eŭlera karakterizo χ de la pluredro. Ĉi tio estas speciala okazo de la gaŭso–kufa teoremo kiu rilatigas, la integralon de la gaŭsa kurbeco al la eŭlera karakterizo. Ĉi tie la gaŭsa kurbeco estas koncentrita je la verticoj: en la edroj kaj lateroj la gaŭsa kurbeco estas nulo kaj la gaŭsa kurbeco je vertico estas egala al la difekto de ĝi.
Ĉi tio povas esti uzata por kalkuli la kvanton de verticoj de pluredro V. Se ĉiuj verticoj estas la samoj la kvanto de verticoj rezultiĝas per dividado de entuta angula difekto je angula de unu vertico α.
- V=2πχ/α
Ekzemploj
[redakti | redakti fonton]La difekto de ĉiu vertico de la regula dekduedro (en kiu tri regulaj kvinlateroj kuniĝas je ĉiu vertico) estas 36°, aŭ π/5, aŭ 1/10 de cirklo. Ĉiu el la anguloj estas 108°; tri de ĉi tiuj kuniĝas je ĉiu vertico, tiel la difekto estas 360° - (108° + 108° + 108°) = 36°.
La sama kalkulo povas esti farita por la aliaj platonaj solidoj
| Pluredro | Kvanto de verticoj | Plurlateroj je ĉiu vertico | Angula difekto de unu vertico | Entuta angula difekto |
|---|---|---|---|---|
| Kvaredro | 4 | Tri egallateraj trianguloj | π | 4π |
| Okedro | 6 | Kvar egallateraj trianguloj | 2π/3 | 4π |
| kubo | 8 | Tri kvadratoj | π/2 | 4π |
| Dudekedro | 12 | Kvin egallateraj trianguloj | π/3 | 4π |
| Dekduedro | 20 | Tri regulaj kvinlateroj | π/5 | 4π |
Potenciala eraro
[redakti | redakti fonton]
Estadas opinio (ĝi eĉ estas skribita en iuj geometriaj lernolibroj) ke ĉiu ne-konveksa pluredro havas iujn verticojn kies difekto estas negativa, sed ĉi tio ne estas vero. Jen kontraŭekzemplo. Konsideru kubon kie unu edro estas anstataŭigita per kvadrata piramido. Ĉi tiu plilongigita kvadrata piramido estas konveksa kaj la difektaj je ĉiuj verticoj estas ĉiu pozitiva. Nun konsideru la sama kubo kie la kvadrata piramido iras enen de la kubo. Ĉi tiu pluredro estas ne-konveksa, sed la difekto je ĉiu vertico restas la sama kaj tiel estas pozitiva.
Referencoj
[redakti | redakti fonton]- ↑ René Descartes, "Progymnasmata de solidorum elementis", en Oeuvres de Descartes, volumo. X, pp. 265–276