Bazo (lineara algebro)

En lineara algebro, bazo estas minimuma aro de vektoroj, kiuj, kiam kombinitaj, povas adresi ĉiun vektoron en donita spacon. Pli detale, bazo de vektora spaco estas aro de lineare sendependaj vektoroj, kiu generas la tutan spacon.

Difino

Estu B subaro de vektora spaco V. Lineara kombinaĵo de B estas finhava sumo de la formo

a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n},\,

kie la v_k estas malsamaj vektoroj de B kaj la a_k estas skalaroj. Alivorte, la linearaj kombinaĵoj de B estas la vektoroj kiujn oni povas skribi kiel funkciojn de elementoj de B (skribi per la elementoj de B kaj la operacioj de V).

B estas bazo se ĝi plenumas la sekvajn kondiĉojn:

1. Ĉiu vektoro en V estas lineara kombinaĵo de vektoroj en B. Tiukaze oni diras ke B estas generanta aro por V.

2. La vektoroj en B estas lineare sendependaj, t.e., la nuraj linearaj kombinaĵoj $a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}$ kiu egalas la nulan vektoron havas $a_{1}=\cdots =a_{n}=0\,$ . Tio indikas ke $v_{1}\neq a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}$ .

La unua kondiĉo postulas ke B generas V. Do, necese la grandeco de B kreskas laŭ la komplekseco de V. Malgraŭ tio, oni scias ke ne eblas forpreni elementojn el B. Fakte, pro la dua kondiĉo, ĉiu vektoro b de B estas neesprimebla kiel lineara kombinacio de la aliaj vektoroj de B. Tial, forpreno de iu elemento de B kaŭzas ke B ne plu plenumas la unuan kondiĉon.

Unufraze, B estas ne malgrandigebla generanta aro. Simile, B estas negrandigebla lineare sendependa.

Propraĵoj

Denove B estas subaro de vektora spaco V. Tiam, B estas bazo nur se validas iu el jenaj ekvivalentaj kondiĉoj:

B estas minimuma generanta aro de V, do ĝi estas generanta aro sed ne pozitiva subaro de B estas.
B estas maksimuma aro de lineare sendependaj vektoroj, do ĝi estas lineare sendependa aro sed neniu alia lineare sendependa aro enhavas ĝin kiel subaron.
Ĉiu vektoro en V povas esti esprimita kiel lineara kombinaĵo de vektoroj en B en unika vojo.

La teoremo, ke ĉiu vektora spaco havas bazon sekvas el la bon-orda teoremo, aŭ ĉiu alia ekvivalento de la aksiomo de elekto. (Pruvo: Bone ordu la erojn de la vektora spaco. Konsideru la subaron de ĉiuj eroj ne lineare dependaj je iliaj antaŭuloj. Facile pruveblas ke tiu subaro estas bazo.) Oni povas ankaŭ montri ke, pli ĝenerale, ĉiu generanta aro (de V) inkluzivas iun bazon. Ekzemple, en tridimensia spacio, en ĉiu aro kiu estas inkluzivata en neniu ebeno, oni povas trovi bazon (tri maldependajn elementojn).

Ĉiuj bazoj de vektora spaco havas la saman kvantonombron (kvanton de elementoj), kiun oni nomas la dimensio de la vektora spaco. Ĉi-asta rezulto estas konata kiel la dimensia teoremo, kaj postulas la lemon de ultrafiltrilo, severe pli malforta ol la aksiomo de elekto.

Ekzemploj

Konsideru R² la vektoran spacon de ĉiuj koordinatoj (a, b) kie ambaŭ a kaj b estas realaj nombroj. Tiam tre natura kaj simpla bazo estas simple la vektoroj e₁ = (1,0) kaj e₂ = (0,1): supozu, ke v = (a, b) estas vektoro en R², tiam v = a (1,0) + b (0,1). Sed iuj ajn du lineare sendependaj vektoroj, kiel (1,1) kaj (−1,2), ankaŭ formos bazon de R² (vidu la sekcion Pruvado, ke aro estas bazo pli sube).
Pli ĝenerale, la vektoroj e₁, e₂, …, e_n estas lineare sendependaj kaj generas Rⁿ. Pro tio, ili formas bazon por Rⁿ kaj la dimensio de Rⁿ estas n. Ĉi tiu bazo estas nomita la norma bazo.
Supozu ke V estas la realnombra vektora spaco generita de funkcioj e^t kaj e^2t. Ĉi tiuj du funkcioj estas lineare sendependaj, do ili formas bazon por V.
Supozu ke R[x] signifas la vektoran spacon de realnombraj polinomoj; tiam (1, x, x², …) estas bazo de R[x]. La dimensio de R[x] estas pro tio egala al alef-0.

Baza vastigaĵo

Inter iu ajn lineare sendependa aro kaj iu ajn generanta aro estas bazo. Pli formale: se L estas lineare sendependa subaro de la vektora spaco V kaj G estas generanta aro de V enhavanta L, tiam ekzistas bazo de V, kiu enhavas L kaj estas enhavita en G. Aparte (prenante G = V), iu ajn lineare sendependa aro L povas esti "etendita" por formi bazon de V. Ĉi tiuj vastigaĵoj ne estas unikaj.

Pruvi ke aro estas bazo

Kiel facilan ekzemplon, ni montras, ke la vektoroj (1,1) kaj (-1,2) formas bazon por R². Jenaj pruvmanieroj postulas pligrandiĝantajn kvantojn de matematika sperto kaj malkreskantajn kvantojn de peno.

Per laŭŝtupa kalkulado

Ni devas pruvi, ke ĉi tiuj du vektoroj estas lineare sendependaj kaj ke ili generas R².

Parto I: Por pruvi, ke ili estas lineare sendependaj, supozu, ke estas nombroj a,b tiaj, ke:

a(1,1)+b(-1,2)=(0,0).\,

Tiam:

(a-b,a+2b)=(0,0)\,

kaj

a-b=0\;

kaj

a+2b=0.\,

Subtrahante la unua ekvacion de la dua, ni ricevas:

3b=0\;

do

b=0.\,

Kaj de la unua ekvacio tiam:

a=0.\,

Parto II: Por pruvi, ke ĉi tiuj du vektoroj generas R², ni supozas ke (a,b) estas ajna elemento de R², kaj devas montri, ke ekzistas nombroj x,y tiaj, ke:

x(1,1)+y(-1,2)=(a,b).\,

Por tio ni devas samtempe solvi la ekvaciojn:

x-y=a\,

x+2y=b.\,

Subtrahante la unua ekvacio de la dua, ni ricevas:

3y=b-a,\,

kaj tiam

y=(b-a)/3,\,

kaj fine

x=y+a=((b-a)/3)+a.\,

Per la dimensia teoremo

Ĉar (-1,2) estas klare ne multoblo de (1,1) kaj ĉar (1,1) ne estas la nulvektoro, ĉi tiuj du vektoroj estas lineare sendependaj. Ĉar la dimensio de R² estas 2, la du vektoroj formas bazon de R² laŭ la dimensia teoremo.

Per la inversigebla matrica teoremo

Simple kalkulu la determinanton

\det {\begin{bmatrix}1&-1\\1&2\end{bmatrix}}=3\neq 0.

Ĉar la pli supra matrico havas nenulan determinanton, ĝiaj kolumnoj formas bazon de R². Vidu en inversigebla matrico.

Orditaj bazoj

Bazo estas simple aro de vektoroj sen ordo. Por multaj celoj estas oportune labori kun ordita bazo. Ekzemple, kiam oni laboras kun koordinata prezento de vektora estas kutime paroli pri la "unua" aŭ "dua" koordinato, kio faras sencon nur se ordigo estas precizigita por la bazo. Por findimensiaj vektoraj spacoj oni kutime indicas bazon {v_{i} per la unuaj n naturaj nombroj.}

Supozu ke V estas n-dimensia vektora spaco super kampo F. Elekto de ordita bazo por V estas ekvivalento al elekto de lineara izomorfio de la koordinata spaco Fⁿ, kun ĝia norma bazo, al V. Por vidi ĉi tion, lasu ke

A : Fⁿ → V

estu lineara izomorfio. Difinu orditan bazon {v_i} por V per

v_i = A(e_i) por 1 ≤ i ≤ n

kie {e_i} estas la norma bazo por Fⁿ. Male, donita iun ajn orditan bazon {v_mi} por V difini lineara surĵeto A : Fⁿ → V per

A(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}

Ne malfacilas kontroli ke A estas izomorfio. Tial orditaj bazoj por V estas en 1-al-1-rilato kun linearaj izomorfioj Fⁿ → V.

Rilataj nocioj

En kuntekstoj en kiuj la esprimo "bazo" povas havi diversajn signifojn, oni uzas ankaŭ la esprimojn Hamel-bazo (laŭ Georg Hamel) aŭ algebra bazo por la koncepto traktita en ĉi tiu artikolo.

En hilbertaj spacoj kaj aliaj banaĥaj spacoj, necesas laboro kun linearaj kombinaĵoj de senfine multaj vektoroj. En senfindimensia hilberta spaco, aro de vektoroj perpendikularaj unuj al la aliaj neniam povas generi la tutan spacon tra iliaj finhavaj linearaj kombinaĵoj. Kio estas nomita ortnormalan bazon estas aro de reciproke ortaj unuoblaj vektoroj, kiuj "generas" la spacon tra iam-senfinaj linearaj kombinaĵoj. Escepte de la findimensia kazo, ĉi tiu koncepto estas ne pure algebra, kaj estas malsama al la Hamel-bazo; ĝi estas ankaŭ pli ĝenerale utila. Ortnormala bazo de senfindimensia hilberta spaco estas pro tio ne bazo de Hamel.

En topologiaj vektoraj spacoj, sufiĉe ĝenerale, oni povas difini senfinajn sumojn (senfina serio) kaj esprimi elementojn de la spaco kiel certajn senfinajn linearajn kombinaĵojn de aliaj elementoj. Por teni klara la distingon de bazoj uzantaj finhavan kaj senfinan kombinaĵon, la unuaj estas nomitaj -Hamel-bazoj kaj la duaj Ŝaŭder-bazoj, se la ĉirkaŭteksto postulas tion. La respektivaj dimensioj estas analoge nomataj Hamel-dimensio kaj Ŝaŭder-dimensio.

Ekzemplo

En la studo de furieraj serioj, oni lernas ke la funkcioj {1} ∪ { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, … } estas "ortnormala bazo" de la aro de ĉiuj komplekso-valoraj funkcioj, kiuj estas kvadrate integraleblaj sur la intervalo [0, 2π], kio estas, funkcioj f kontentiganta

\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .

Ĉi tiuj funkcioj estas lineare sendependaj, kaj ĉiu funkcio kiu estas kvadrate integralebla sur tiu intervalo estas "senfina lineara kombinaĵo" de ili. Tio signifas, ke

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }\left|\left(a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\right)-f(x)\right|^{2}\,dx=0

por taŭgaj koeficientoj a_k, b_k. Sed plejparto de kvadrate integraleblaj funkcioj ne povas esti prezentita kiel finhavaj linearaj kombinaĵoj de ĉi tiuj bazaj funkcioj, kiu pro tio ne havas Hamel-bazojn. Ĉiu Hamel-bazo de ĉi tiu spaco estas multa pli granda ol ĉi tiu nure kalkuleble senfina aro de funkcioj. Bazoj de Hamel de spacoj de ĉi tiu speco estas apenaŭ interesaj; ortnormalaj bazoj de ĉi tiuj spacoj estas gravaj al la furiera analizo.

Vidu ankaŭ