Dulineara formo

En matematiko, dulineara formo sur vektora spaco V estas duargumenta funkcio B(u, v), kie u kaj v estas vektoroj de la spaco V, kies valoro estas nombro el kampo F:

B: V × V → F

kaj kiu estas lineara je ĉiu el la du argumentoj:

B(u₁ + u₂, v) = B(u₁, v) + B(u₂,v)

B(u, v₁ + v₂) = B(u, v₁) + B(u, v₂)

B(ku, v) = B(u, kv) = kB(u, v)

por ĉiuj vektoroj u, u₁, u₂, v, v₁, v₂ kaj ĉiu nombro k.

La eroj de la vektoroj, la valoro de la formo kaj la nombro k povas esti reelaj aŭ kompleksaj.

Ĉiu dulineara formo sur n-dimensia vektora spaco povas esti esprimita kiel

B(u,v)=x^{T}Ay=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}

kie A estas n×n matrico, a_ij=B(e_i, e_j),

e₁, ...,e_n estas la bazaj vektoroj,

x kaj y estas kolumnaj vektoroj (n×1 matricoj), prezentoj de u kaj v en la bazo e.

Se la konsiderata vektora spaco estas spaco de n-opoj de nombroj, u kaj v povas jam esti kolumnaj vektoroj, kaj povas esti ke x estas tute la samo kiel u kaj y estas tute la samo kiel v. Sed se estas konsiderata ekzemple geometria spaco tiam vektoro ne estas ĝuste opo de nombroj, kaj necesas aparte diri per vektoro kaj ĝi prezento kiel opo (kolumno) de nombroj en donita bazo. Ankaŭ, eĉ se vektoro estas nur opo de nombroj, eblas ŝanĝi bazon (ŝanĝi koordinatosistemon), kaj tiam vektoro kaj ĝia prezento estas malsamaj; vidu sube pli detale.

Se V estas finidimensia tiam, en al iu bazo enV, dulineara formo estas degenera se kaj nur se la determinanto de la asociita matrico estas nulo. Ankaŭ, nedegenera formo estas tiu por kiu la asociita matrico estas nedegenera (nesingulara). La degenereco estas sendependa de la elektita bazo.

Seskvilineara formo estas simila al dulineara formo super kompleksaj nombroj, ĝi estas lineara je unu argumento sed estas konjugita lineara je la alia argumento.

Ŝanĝo de bazo

Estu e={e₁, ...,e_n} bazo en n-dimensia spaco V. Estu dulineara formo B difinita per n×n matrico A kun a_ij=B(e_i, e_j). Tiam se x estas kolumna vektoro, prezento de vektoro u en ĉi tiu bazo, kaj analoge y estas prezento de v, tiam:

B(u,v)=x^{T}Ay

Estu e' la alia bazo por V, kun bazaj vektoroj:

{\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S

kie S estas inversigebla n×n matrico.

Tiam se x' estas kolumna vektoro, prezento de vektoro u kun respekto al bazo e' , kaj analoge y' estas prezento de v en e' , tiam:

x = S x'

y = S y'

B(u, v) = x^T A y = (S x')^T A (S y') = (x'^T S^T) A (S y') = x'^T (S^T A S) y'

Tiel la matrica prezento por la dulineara formo en bazo e' estas:

A' =S^T A S

Refleksiveco kaj orteco

Dulineara formo

B : V × V → F

estas refleksiva se

B(u, v)=0 se kaj nur se B(v, u)=0

Refleksiveco permesas difini ortecon de du vektoroj: vektoroj u kaj v estas ortaj (perpendikularaj) kun respekto al la refleksiva dulineara formo se kaj nur se

B(u, v)=0 aŭ B(v, u)=0

La radiko de dulineara formo estas la aro de ĉiuj vektoroj kiuj estas perpendikularaj al ĉiu la alia vektoro. Vektoro u, kun matrica prezento x, apartenas al la radiko de dulineara formo kun matrica prezento A, se kaj nur se

A x = 0 aŭ ekvivalente x^{T} A=0

La radiko estas ĉiam subspaco de V. Ĝi estas bagatela (konsistas nur el la nula vektoro) se kaj nur se la matrico A estas nesingulara, aŭ ekvivalente se kaj nur se la dulineara formo estas nedegenera.

Estu W subspaco de V. Tiam estu $W^{\perp }$ subspaco konsistanta el vektoroj, tiaj ke ĉiu vektoro el $W^{\perp }$ estas perpendikulara al ĉiu vektoro el W:

$W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}$

Kiam la dulineara formo estas nedegenera, la mapo $W\leftarrow W^{\perp }$ estas dissurĵeto, kaj la dimensio de $W^{\perp }$ estas diferenco inter dimensio de V kaj dimensio de W.

Eblas pruvi ke B estas refleksiva se kaj nur se minimume unu el la sekvaj kondiĉoj veraj:

B(u, v) = B(v, u) por ĉiuj u kaj v en V (simetria dulineara formo)
B(u, u) = 0 por ĉiu u en V (alterna formo)

Ĉiu alterna formo estas deklivo-simetria formo (B(u, v) = -B(v, u)). Ĉi tiu povas esti pruvita per elvolvo de B(u+v, u+v) = 0:

B(u+v, u+v) = B(u, u) + B(u, v) + B(v, u) + B(v, v) = 0

Pro tio ke B(u, u) = B(v, v) = 0 rezultiĝas

B(u, v) + B(v, u) = 0

Valoro de B povas esti pli ĝenerale ero de kampo F de skalaroj (ankaŭ reelaj kaj kompleksaj nombroj trafas ĉi tion). Se la karakterizo de F ne egalas al 2 tiam estas vera ankaŭ la ree ke ĉiu deklivo-simetria formo estas alterna. Se, tamen, la karakterizo de F estas 2 tiam deklivo-simetria formo estas la samo kiel simetria formo kaj ne ĉiuj el ĉi tiuj estas alternaj.

Dulineara formo estas simetria se kaj nur se ĝia koordinata matrico estas simetria matrico. Dulineara formo estas deklivo-simetria se kaj nur se ĝia koordinata matrico estas deklivo-simetria matrico. Dulineara formo estas alterna se kaj nur se ĝia koordinata matrico estas deklivo-simetria kaj ĉiuj ĝiaj diagonalaj elementoj estas nuloj (kio sekvas de deklivo-simetrieco se karakterizo de F ne egalas al 2). La simetrieco kaj deklivo-simetrieco estas sendependaj de la elektita bazo.

Malsamaj spacoj

Povas esti konsiderata ankaŭ dulineara surĵeto

B: V × W → F

kie V kaj W povas esti malsamaj spacoj.

Normigitaj vektoraj spacoj

Dulineara formo sur normigita vektora spaco estas barita, se ekzistas konstanto C tia ke por ĉiuj u kaj v en V

B(u, v) ≤ C ||u|| ||v||

Dulineara formo sur normigita vektora spaco estas elipsa, se ekzistas konstanto c tia ke por ĉiu u en V

B(u, u) ≥ c ||u||²

Elipsa dulineara formo priskribas n-dimensian elipsoidon en V per ekvacio B(u, u) = c, vidu plu en koniko kaj kvadriko.

Dulineara formo povas esti elipsa nur se ĝi estas nedegenera.

Ekzemploj

Skalara produto estas dulineara formo.

Estu 3-dimensiaj kolumnaj vektoroj kaj estu matrico

A={\begin{bmatrix}2&3&5\\0&8&1\\4&-3&-5\end{bmatrix}}

Tiam estas dulineara formo:

B(u, v) = u^TAv

Estu malfinidimensia spaco de reelaj kontinuaj en intervalo [0, 1] funkcioj. Tiam estas dulineara formo:

B(f,g)=\int _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Kategorio Dulineara formo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

Dulineara formo en PlanetMath.